热门试卷

解：（1）在等差数列{an}中，由a1+a2+a3=3a2=9，得a2=a1+d=3

又由a2+a4+a6=3a4=21，得a4=a1+3d=7

联立解得a1=1，d=2，

则数列{an}的通项公式为an=2n-1。

（2）因为

∴

②

①-②得

得。

解：(1)设数列{an}的公差为d≠0，则，

∴，①

又∵a3、a4、a12成等比数列，

∴，即，

化简，得，②

由①②，得：，

∴。

(2)由于，

∴，

设，则，

即，

由于k、m为正整数，所以7必须能被7m-13整除，

∴7m-13=1，-1，7，-7，

∴m=2，k=10，

故存在唯一的正整数m=2，使仍为数列{an}中的一项．

（1）∵数列{an}满足an+2+an=2an+1（n∈N+），

∴数列{an}是等差数列，

∵a3+a5=14，a4+a6=18，

∴，

解得a1=1，d=2，

∴an=2n-1．

（2）∵an=2n-1，

∴bn=an（）n=（2n-1）•（）n，

∴数列{bn}的前n项和

Sn=1×+3×（）2+5×（）3+…+（2n-1）×（）n，①

∴Sn=1×（）2+3×（）3+5×（）4+…+（2n-1）×（）n+1，②

①-②，得Sn=+2×（）2+2×（）3+2×（）4+…+2×（）n-（2n-1）×（）n+1

=+2×[（）2+（）3+（）4+…+（）n]-（2n-1）×（）n+1

=+2×-（2n-1）×（）n+1

=+1-（）n-1-（2n-1）×（）n+1，

∴Sn=3-()n-2-(2n-1)()n．

解：（Ⅰ），

∴，

，

∴；

（Ⅱ）；

（Ⅲ），

，

，

当n=19时，Pn=Qn；

当1≤n≤18时，Pn＜Qn；

当n≥20时，Pn＞Qn。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)，则f′(x)=2ax+b，

由于f′(x)=6x-2，得a=3，b=-2，

所以f(x)=3x2-2x，

又因为点均在函数y=f（x）的图像上，所以Sn=3n2-2n，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n2-2n）-[3（n-1）2-2（n-1）]=6n-5，

当n=1时，a1=S1=3×12-2=6×1-5，

所以，an=6n-5（n∈N*）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知，

故Tn=，

因此，要使成立的m，必须且仅须满足，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10。

（1）设an的公差为d，则：a2=a1+d，a5=a1+4d，

∵a2=6，a5=18，∴，∴a1=2，d=4．

∴an=2+4（n-1）=4n-2．

（2）当n=1时，b1=T1，由T1+b1=1，得b1=．

当n≥2时，∵Tn=1-bn，Tn-1=1-bn-1，

∴Tn-Tn-1=(bn-1-bn)，即bn=(bn-1-bn)

∴bn=bn-1．

bn是以为首项，为公比的等比数列．

（3）由（2）可知：bn=•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．

∴cn=an•bn=(4n-2)•2•(

1

3

) n=(8n-4)•(

1

3

)n．

Sn=c1+c2+…cn-1+cn=4×+12×(

1

3

)2+…+(8n-12)×(

1

3

)n-1+(8n-4)×(

1

3

)n

∴．Sn=4×(

1

3

)2+12×(

1

3

)3+…+(8n-12)×(

1

3

)n+(8n-4)×(

1

3

)n+1

∴Sn-Sn=Sn=4×+8×(

1

3

)2+8×(

1

3

)3+…+8×(

1

3

)n-(8n-4)×(

1

3

)n+1

=+8×-(8n-4)×(

1

3

)n+1

=-4×(

1

3

)n-(8n-4)×(

1

3

)n+1

∴Sn=4-4(n+1)•(

1

3

)n

解：（Ⅰ）设{an}的公差为d。由已知得

解得a1=3，d=-1

则an=3-（n-1）=4-n；

（Ⅱ）由（I）的解答可得，bn=n·qn-1，于是Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+nqn-1。

若q≠1，将上式两边同乘以q有qSn=1·q1+2·q2+…+ （n-1）·qn-1+n·qn两式相减得到 （q-1）Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1                                                                                                  于是

若，则

所以。

（Ⅰ）解：由f（1）= ，可得a+b=3，…①

又由f（x）﹣x=0得：x[ax﹣（1﹣b）]=0，

∵方程只有一个实数根，

∴   …②

由①②得：a=2，b=1，则f（x）= 

（Ⅱ）证明：由an=f（an﹣1）得：an= 

∴ 

∴{ }是首项为﹣2005，公差为2的等差数列，

∴ =﹣2005+2（n﹣1）=2n﹣2007

∴an= 

解：（1）设的公差为，的公比为，

则依题意有且解得，．

所以，．

（2）．

，①

，②

②－①得，

．