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题型:简答题
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简答题

已知等差数列{}的首项为a.设数列的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有

(1)求数列{}的通项公式及Sn

(2)是否存在正整数n和k,使得成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1),;(2)存在正整数n=1和k=3符合题目的要求.

试题分析:(1)令n=1,可得=3,又首项为a,可得等差数列的通项公式及Sn;(2)假设存在,由题可得,由Sn可得可化为,又n和k为正整数,所以得出n=1,k=3满足要求.

试题解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,

中,令n=1可得=3,即

故d=2a,

经检验,恒成立

所以   6分

(2)由(1)知

假若成等比数列,则

即知

又因为,所以,经整理得

考虑到n、k均是正整数,所以n=1,k=3

所以,存在正整数n=1和k=3符合题目的要求.    13分

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题型:简答题
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简答题

已知等差数列{an}满足a2=0,a6a8=-10.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列的前n项和.

正确答案

(1)an=2-n.(2)

(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得

解得 故数列{an}的通项公式为an=2-n.

(2)设数列的前n项和为Sn

Sn

Tn,①

Tn,②

①-②得:Tn=1+

Tn,即Tn=4.

Sn-4

=4-4

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题型:填空题
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填空题

在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________.

正确答案

an=5n-3×2n-1

在递推公式an+1=2an+3×5n的两边同时除以5n+1,得,①

bn,则①式变为bn+1bn,即bn+1-1=(bn-1),所以数列{bn-1}是等比数列,其首项为b1-1=-1=-,公比为所以bn-1=×n-1,即bn=1-×n-1,故an=5n-3×2n-1.

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题型:简答题
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简答题

在数列{an}中,已知an≥1,a1=1且an+1-=(n∈N*)

(I)求数列{an}的通项公式;

(II)令cn=(2an-1)2,Sn=++…+,若Sn<k恒成立,求k的取值范围.

正确答案

(I)因为an+1-an=

所以an+12-an2-an+1+an=2,

即(an+1-)2-(an-)2=2,--(2分)

令bn=(an-)2

bn+1-bn=2,

故{bn}是以为首项,2为公差的等差数列.

所以bn=+2(n-1)=,--(4分)

因为an≥1,故an=.--(6分)

(II)因为cn=(2an-1)2=8n-7,

所以==(-),--(8分)

所以Sn=++…+=(1-+-+…+-)

=(1-)<,--(10分)

因为Sn<k恒成立,

故k≥.--(12分)

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题型:简答题
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简答题

已知向量=(sinA,sinB),=(cosB,cosA),=sin2C,且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角.

(1)求角C的大小;

(2)若sinA、sinC、sinB成等差数列,且sinB=18,求c边的长.

正确答案

(1)由于 =sinA•cosB+sinB•cosA=sin(A+B),…(2分)

对于△ABC,A+B=π-C,0<C<π,∴sin(A+B)=sinC,∴=sinC.…(3分)

又∵=sin2C,∴sin2C=sinC,cosC=,C=.…(6分)

(2)由sinA,sinC,sinB成等差数列,得2sinC=sinA+sinB,

由正弦定理得2c=a+b.…(8分)∵=18,即abcosC=18,ab=36.…(10分)

由余弦弦定理c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,…(11分)

∴c2=4c2-3×36,c2=36,∴c=6.…(12分)

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题型:简答题
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简答题

数列的前项和记为

(1)求证是等比数列,并求的通项公式;

(2)等差数列的各项为正,其前项和为,且,又 成等比数列,求

正确答案

(1)证明见解析,;(2)

试题分析:(1)对于可得两式相减化得,又,所以为等比数列,首项为1,公比为3,可写出通项公式;(2)令等差数列公差为d,由,得,又 成等比数列,可得,解得d,可得等差数列的前n 项和.

解:(1)由可得

两式相减得

.……4分

是首项为1,公比为3的等比数列,

(2)设的公差为,由,可得

故可设,又

由题意可得

解得

等差数列的各项为正,

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题型:简答题
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简答题

对于自然数数组,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果的极差,可实施如下操作:若中最大的数唯一,则把最大数减2,其余两个数各增加1;若中最大的数有两个,则把最大数各减1,第三个数加2,此为一次操作,操作结果记为,其级差为.若,则继续对实施操作,…,实施次操作后的结果记为,其极差记为.例如:.

(1)若,求的值;

(2)已知的极差为,若时,恒有,求的所有可能取值;

(3)若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在满足.

正确答案

(1),,;(2)的取值仅能是2;(3)详见解析.

试题分析:(1)由数组的极差的定义,可知,,这时三数为,第二次操作后,,这时三数为,第三次操作后,,,这时三数为,第四次操作后,,这时三数为,第五次操作后,,这时三数为,第六次操作后,,这时三数为,第2014次操作后,,这时三数为;(2)已知的极差为,这时极差最小值为,当时,这时是三个连续的正整数,即为,由(1)可知,通过变化后,所得数仍然是,所以数组的极差不会改变,即,符合题意,当,这时三个数,通过变化成,这是极差为,或,这样就可以确定出的取值仅能是2;(3)若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在满足,这时三数形式为,由二项式定理可知,故所以的极差是3的倍数,这样根据极差的定义,通过操作,得到是一个公差为的等差数列,从而可得出结论.

(1),,                  3分

(2)法一:

①当时,则

所以

由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数变为最小数,最小数和次

小数分别变为次小数和最大数,所以数组的极差不会改变.

所以,当时,恒成立.

②当时,则

所以

所以总有.

综上讨论,满足的取值仅能是2.              8分

法二:

因为,所以数组的极差

所以

为最大数,则

,则

,则

时,可得,即

可得

所以

代入

所以当时,

由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数变为最小数,最小数和次小

分别变为次小数和最大数,所以数组的极差不会改变.

所以满足的取值仅能是2.                 8分

(3)因为是以4为公比的正整数等比数列的三项,

所以是形如(其中)的数,

又因为

所以中每两个数的差都是3的倍数.

所以的极差是3的倍数.                                9分

法1:设,不妨设

依据操作的规则,当在三元数组)中,总满足是唯一最大数,是最小数时,一定有,解得.

所以,当时,.

依据操作的规则,当在三元数组)中,总满足是最大数,是最小数时,一定有,解得.

所以,当时,.

所以存在,满足的极差.                    13分

法2:设,则

①当中有唯一最大数时,不妨设,则

所以

所以,若是3的倍数,则是3的倍数.

所以,则

所以

所以                            11分

②当中的最大数有两个时,不妨设,则

所以

所以,若是3的倍数,则是3的倍数.

所以,则

所以.

所以当时,数列是公差为3的等差数列.                    12分

时,由上述分析可得,此时

所以存在,满足的极差.                      13分

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题型:填空题
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填空题

已知数列,对任意的,当时,;当时,,那么该数列中的第10个2是该数列的第    项.

正确答案

39366(

试题分析:由题意,,由此可得,故第10个2应该是,即第项.

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题型:简答题
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简答题

成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的.

(1)求数列的通项公式;

(2)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.

正确答案

(1)(2)证明过程见试题解析.

试题分析:(1)设成等差数列的三个正数分别为,可得,又成等比,可得方程,则等比数列的三项进一步求公比,可得通项公式.(2)等比数列前n项和为,由可知数列是等比数列.

试题解析:解:(1)设成等差数列的三个正数分别为

依题意,得

所以中的依次为

依题意,有(舍去)

的第3项为5,公比为2.

所以是以为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为        6分

(2)数列的前项和,即

所以

所以,数列是等比数列.         12分

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题型:填空题
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填空题

已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数,数列{xn}是一个公差为2的等差数列,且满足f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,则x2012的值为    .

正确答案

4005

设x8=a,则x9=a+2,x10=a+4,x11=a+6,

所以f(a)+f(a+2)+f(a+4)+f(a+6)=0,且f(a)

所以f(a)<0且f(a+6)>0.

结合奇函数关于原点的对称性可知,f(a)+f(a+6)=0,f(a+2)+f(a+4)=0,

所以f(a+3)=0=f(0),即a+3=0,所以x8=-3.

设数列{xn}通项xn=x1+2(n-1),所以x8=x1+14=-3,所以x1=-17.

故通项xn=2n-19.所以x2012=2×2012-19=4005.

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