- 等差数列
- 共11217题
已知等差数列{}的首项为
a
.设数列的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有
.
(1)求数列{}的通项公式及Sn;
(2)是否存在正整数n和k,使得成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1),
;(2)存在正整数n=1和k=3符合题目的要求.
试题分析:(1)令n=1,可得=3,又首项为a,可得等差数列的通项公式及Sn;(2)假设存在,由题可得
,由Sn可得可化为
即
,又n和k为正整数,所以得出n=1,k=3满足要求.
试题解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,
在中,令n=1可得
=3,即
故d=2a,。
经检验,恒成立
所以,
6分
(2)由(1)知,
,
假若,
,
成等比数列,则
,
即知,
又因为,所以
,经整理得
考虑到n、k均是正整数,所以n=1,k=3
所以,存在正整数n=1和k=3符合题目的要求. 13分
已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
正确答案
(1)an=2-n.(2)
(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得
解得 故数列{an}的通项公式为an=2-n.
(2)设数列的前n项和为Sn,
∵,
∴Sn=-
记Tn=,①
则Tn=
,②
①-②得:Tn=1+
,
∴Tn=
-
,即Tn=4
-
.
∴Sn=-4
+
=4-4
+
=
在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________.
正确答案
an=5n-3×2n-1
在递推公式an+1=2an+3×5n的两边同时除以5n+1,得,①
令=bn,则①式变为bn+1=
bn+
,即bn+1-1=
(bn-1),所以数列{bn-1}是等比数列,其首项为b1-1=
-1=-
,公比为
所以bn-1=
×
n-1,即bn=1-
×
n-1=
,故an=5n-3×2n-1.
在数列{an}中,已知an≥1,a1=1且an+1-=
(n∈N*)
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)令cn=(2an-1)2,Sn=+
+…+
,若Sn<k恒成立,求k的取值范围.
正确答案
(I)因为an+1-an=,
所以an+12-an2-an+1+an=2,
即(an+1-)2-(an-
)2=2,--(2分)
令bn=(an-)2
bn+1-bn=2,
故{bn}是以为首项,2为公差的等差数列.
所以bn=+2(n-1)=
,--(4分)
因为an≥1,故an=.--(6分)
(II)因为cn=(2an-1)2=8n-7,
所以=
=
(
-
),--(8分)
所以Sn=+
+…+
=
(1-
+
-
+…+
-
)
=(1-
)<
,--(10分)
因为Sn<k恒成立,
故k≥.--(12分)
已知向量=(sinA,sinB),
=(cosB,cosA),
•
=sin2C,且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角.
(1)求角C的大小;
(2)若sinA、sinC、sinB成等差数列,且sinB•
=18,求c边的长.
正确答案
(1)由于 •
=sinA•cosB+sinB•cosA=sin(A+B),…(2分)
对于△ABC,A+B=π-C,0<C<π,∴sin(A+B)=sinC,∴•
=sinC.…(3分)
又∵•
=sin2C,∴sin2C=sinC,cosC=
,C=
.…(6分)
(2)由sinA,sinC,sinB成等差数列,得2sinC=sinA+sinB,
由正弦定理得2c=a+b.…(8分)∵•
=18,即abcosC=18,ab=36.…(10分)
由余弦弦定理c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,…(11分)
∴c2=4c2-3×36,c2=36,∴c=6.…(12分)
数列的前
项和记为
,
,
.
(1)求证是等比数列,并求
的通项公式;
(2)等差数列的各项为正,其前
项和为
,且
,又
成等比数列,求
.
正确答案
(1)证明见解析,;(2)
.
试题分析:(1)对于可得
两式相减化得
,又
,所以
为等比数列,首项为1,公比为3,可写出通项公式;(2)令等差数列
公差为d,由
,得
,又
成等比数列,可得
,解得d,可得等差数列的前n 项和.
解:(1)由可得
,
两式相减得,
.
又,
.……4分
故是首项为1,公比为3的等比数列,
.
(2)设的公差为
,由
得
,可得
,
故可设,
,又
,
,
由题意可得,
解得,
.
等差数列
的各项为正,
.
,
.
对于自然数数组,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果
的极差
,可实施如下操作
:若
中最大的数唯一,则把最大数减2,其余两个数各增加1;若
中最大的数有两个,则把最大数各减1,第三个数加2,此为一次操作,操作结果记为
,其级差为
.若
,则继续对
实施操作
,…,实施
次操作后的结果记为
,其极差记为
.例如:
,
.
(1)若,求
和
的值;
(2)已知的极差为
且
,若
时,恒有
,求
的所有可能取值;
(3)若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在
满足
.
正确答案
(1),
,
;(2)
的取值仅能是2;(3)详见解析.
试题分析:(1)由数组的极差的定义,可知,,这时三数为
,第二次操作后,
,这时三数为
,第三次操作后,
,,这时三数为
,第四次操作后,
,这时三数为
,第五次操作后,
,这时三数为
,第六次操作后,
,这时三数为
,
,第2014次操作后,
,这时三数为
;(2)已知
的极差为
且
,这时极差
最小值为
,当
时,这时
是三个连续的正整数,即为
,由(1)可知,通过变化后,所得数仍然是
,所以数组的极差不会改变,即
,符合题意,当
,这时
三个数,通过变化成
,这是极差为
,或
,这样就可以确定出
的取值仅能是2;(3)若
是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在
满足
,这时
三数形式为
,由二项式定理可知
,故所以
的极差
是3的倍数,这样根据极差的定义,通过操作,得到
是一个公差为
的等差数列,从而可得出结论.
(1),
,
3分
(2)法一:
①当时,则
所以,
,
由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数变为最小数
,最小数
和次
小数分别变为次小数
和最大数
,所以数组的极差不会改变.
所以,当时,
恒成立.
②当时,则
所以或
所以总有.
综上讨论,满足的
的取值仅能是2. 8分
法二:
因为,所以数组
的极差
所以,
若为最大数,则
若,则
若,则
,
当时,可得
,即
由可得
所以
将代入
得
所以当时,
(
)
由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数变为最小数
,最小数
和次小
数分别变为次小数
和最大数
,所以数组的极差不会改变.
所以满足的
的取值仅能是2. 8分
(3)因为是以4为公比的正整数等比数列的三项,
所以是形如
(其中
)的数,
又因为
所以中每两个数的差都是3的倍数.
所以的极差
是3的倍数. 9分
法1:设,不妨设
,
依据操作的规则,当在三元数组
(
,
)中,总满足
是唯一最大数,
是最小数时,一定有
,解得
.
所以,当时,
.
,
依据操作的规则,当在三元数组
(
,
)中,总满足
是最大数,
是最小数时,一定有
,解得
.
所以,当时,
.
,
所以存在,满足
的极差
. 13分
法2:设,则
①当中有唯一最大数时,不妨设
,则
,
所以
所以,若是3的倍数,则
是3的倍数.
所以,则
,
,
所以
所以 11分
②当中的最大数有两个时,不妨设
,则
,
所以,
所以,若是3的倍数,则
是3的倍数.
所以,则
,
所以.
所以当时,数列
是公差为3的等差数列. 12分
当时,由上述分析可得
,此时
所以存在,满足
的极差
. 13分
已知数列,对任意的
,当
时,
;当
时,
,那么该数列中的第10个2是该数列的第 项.
正确答案
39366()
试题分析:由题意,,
,由此可得
,
,故第10个2应该是
,即第
项.
成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的
、
、
.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列的前n项和为
,求证:数列
是等比数列.
正确答案
(1)(2)证明过程见试题解析.
试题分析:(1)设成等差数列的三个正数分别为,可得
,又
成等比,可得方程
,则等比数列的三项进一步求公比,可得通项公式.(2)等比数列
前n项和为
,由
可知数列
是等比数列.
试题解析:解:(1)设成等差数列的三个正数分别为
依题意,得
所以中的
依次为
依题意,有(舍去)
故的第3项为5,公比为2.
由
所以是以
为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为
6分
(2)数列的前
项和
,即
所以
所以,数列是等比数列. 12分
已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数,数列{xn}是一个公差为2的等差数列,且满足f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,则x2012的值为 .
正确答案
4005
设x8=a,则x9=a+2,x10=a+4,x11=a+6,
所以f(a)+f(a+2)+f(a+4)+f(a+6)=0,且f(a)
所以f(a)<0且f(a+6)>0.
结合奇函数关于原点的对称性可知,f(a)+f(a+6)=0,f(a+2)+f(a+4)=0,
所以f(a+3)=0=f(0),即a+3=0,所以x8=-3.
设数列{xn}通项xn=x1+2(n-1),所以x8=x1+14=-3,所以x1=-17.
故通项xn=2n-19.所以x2012=2×2012-19=4005.
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