热门试卷

(1)  

(2)见解析

（1）由

得，………………………………………………………………………………2分

则

所以是以3为公比，为首项的等比数列 …………………………………………4分

  ………………………………………………………… 6分

（2）……………………………………………7分

 …………………………………………………………………1分

 ……………………………………………………………12分

从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．

本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”．但直接建构这样的不等关系较为困难.为表达方便,我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时,A水流和B水流的含沙量．则＝2，＝0.2，且

．（*）

由于题中问题是针对两股河水的含沙量之差,所以我们不妨直接考虑数列．

由（*）可得：

∴数列是以为首项,以为公比的等比数列．

∴．依题意,令< 0.01，得．

∴．由得，所以，．

即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．

【说明】本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．

（1）由2an-2an+1=3anan+1，可得-=，（3分）

所以数列{}是以为首项，公差为的等差数列．                     （6分）

（2）由（1）可得数列{}的通项公式为=，所以an=．   （8分）ak•ak+1=•=

==．                   （10分）

因为=k2+3k+1+，（11分）

当k∈N*时，一定是正整数，所以是正整数．     （13分）

所以ak•ak+1是数列{an}中的项，是第项．                 （14分）

（Ⅰ）由已知得，an+1=，

∴=+2，即-=2．

∴数列{}是首项，公差d=2的等差数列．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知=1+(n-1)×2=2n-1，

∴an=(n∈N*)，（8分）

∴anan+1==(-)，（10分）

∴Sn=a1a2+a2a3++anan+1=+++

=[(1-)+(-)++(-)]=(1-)=．（14分）

∴2Sn-1=-1=＜0（n∈N*），∴2Sn＜1．（16分）

（1）n≥2时，由an+1=2Sn+2，得an=2Sn-1+

两式相减可得：an+1-an=2an，∴an+1=3an，即数列{an}的公比为3

∵n=1时，a2=2S1+2，∴3a1=2a1+2，解得a1=2，

∴an=2×3n-1；

（2）由（1）知an=2×3n-1，an+1=2×3n，

因为an+1=an+（n+1）dn，所以dn=

第n个等差数列的和是An=（n+2）an+×=4（n+2）×3n-1=（n+2）（n+1）dn，

∴存在一个关于n的多项式g（n）=（n+2）（n+1），使得An=g（n）dn对任意n∈N*恒成立；

（3）假设在数列{dn}中存在dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列

则dk2=dmdp，即（）2=×

因为m，k，p成等差数列，所以m+p=2k①

上式可以化简为k2=mp②

由①②可得m=k=p这与题设矛盾

所以在数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．

（1）当m=1时，a1=1．a2=λ+1，a3=λ（λ+1）+2=λ2+λ+2

假设{an}是等差数列，由a1+a3=2a2，

得λ2+λ+3=2（λ+1），

即λ2-λ+1=0，

∴△=-3＜0，

∴方程无实根．

故对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列．

（2）当λ=-时，an+1=-an+n，bn=an-+bn+1=an+1-+=(-an+n)-+=-an+-

=-(an-+)=-bn又b1=m-+=m-，

∴当m≠时，{bn}是以m-为首项，-为公比的等比数列，

当m=时，{bn}不是等比数列．

依题意，前三项系数的绝对值是1，C1n（），C2n（）2，

且2C1n•=1+C2n（）2，

即n2-9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），

∴展开式的第k+1项为Ck8（）8-k（-）k

=（-）kCk8•x•x-=（-1）k•Ck8•x．

（1）证明：若第k+1项为常数项，

当且仅当=0，即3k=16，

∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．

（2）若第k+1项为有理项，当且仅当为整数，

∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，

即展开式中的有理项共有三项，它们是：

T1=x4，T5=x，T9=x-2．

（1）设等比数列{an}的公比为q（q∈R），由a7=a1q6=1，得a1=q-6，

从而a4=a1q3=q-3，a5=a1q4=q-2，a6=a1q5=q-1．

因为a4，a5+1，a6成等差数列，

所以a4+a6=2（a5+1），即q-3+q-1=2（q-2+1），q-1（q-2+1）=2（q-2+1）．

所以q=．故an=a1qn-1=q-6qn-1=64（）n-1=27-n（2）又等比数列前n项和的公式可知：

Sn===128[1-（）n]＜128．

（Ⅰ）∵a1=4，an=2an-1+2n（n≥2，n∈N*），

∴a2=2a1+22=2×4+4=12；a3=2a2+23=2×12+8=32（4分）

（Ⅱ）∵数列{}为等差数列，∴，，成等差数列，∴+=2×，解得t=0（8分）

当t=0时，=，此时-=-=-=1（定值）

∴数列{}为首项为1，公差为1的等差数列，（11分）

∴t=0．（12分）