热门试卷

（I）

（II）注意

而

当时，

，即。

试题分析：（I）   由得，

所以为等比数列；所以

（II）由，得①

②； 由②-①得：，则（）

当时，

，即

点评：典型题，本题综合性较强，处理的方法多样。涉及数列不等式的证明问题，提供了“放缩、求和、证明”和“数学归纳法”等证明方法，能拓宽学生的视野。

（本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查方程思想以及运算求解能力．）

解：（1）设等差数列的公差为，则．………………………………………1分

由已知，得………………………………………………………………………3分

即解得…………………………………………………………………………5分

所以（）．………………………………………………………………6分

（2）假设存在、，使得、、成等比数列，

则．……………………………………………………………………………………………7分

因为，…………………………………………………………………………………8分

所以．

所以．……………………………………………………………………………9分

整理，得．…………………………………………………………………………10分

以下给出求，的三种方法：

方法1：因为，所以．………………………………………………………11分

解得．……………………………………………………………………………12分

因为，

所以，此时．

故存在、，使得、、成等比数列．……………………………………………14分

方法2：因为，所以．…………………………………………………11分

即，即．

解得或．………………………………………………………………12分

因为，

所以，此时．

故存在、，使得、、成等比数列．……………………………………………14分

方法3：因为，所以．……………………………………………11分

即，即．

解得或．…………………………………………………12分

因为，

所以，此时．

故存在、，使得、、成等比数列．……………………………………………14分

略

（1），

（2）对任意，

解：（1）据条件得    ①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．

当时，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

因为时，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

即　　　　　                     　②

由②左式，得，即，因为两端为整数，

则．于是　　　　③

又由②右式，．

则．

因为两端为正整数，则，

所以．

又因时，为正整数，则　　　　④

据③④，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

（1）（2）（3）

（1）解：当时，有，

由于，所以．

当时，有，

将代入上式，由于，所以．

（2）解：由于，                    ①

则有．              ②

②－①，得，

由于，所以．                   ③

同样有，                        ④

③－④，得．

所以．

由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

故．

（3）解：由（2）知，则．

所以

．

∵，∴数列单调递增．

所以．

要使不等式对任意正整数恒成立，只要．

∵，∴．

∴，即．

所以，实数的取值范围是．

（1）；（2）；（3）存在，理由详见解析．

试题分析：（1）将利用进行化简，得到关于与的递推关系式，根据其特点，求其通项公式；（2）本题关键是求出，根据其表达式的特点，可每两项组合后提取公因式后，转化为等差数列求和，但要注意对，分奇偶性讨论，求出后，对恒成立再分离参数后转化为求最值问题，容易求出实数的取值范围；（3）此类问题，一般先假设存在符合条件的数列，解出来则存在，如果得到矛盾的结果，则假设错误，这样的数列则不存在.

试题解析：⑴因为，

所以．                            2分

因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列．

所以．                            4分

⑵①当时，

．                         6分

②当时，

．                8分

所以 要使对恒成立，

只要使为偶数恒成立．

只要使，为偶数恒成立，故实数的取值范围为． 10分

⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数．

①如存在以为首项，公比为2或4的数列，，

此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列． 12分

②当时，显然不存在这样的数列．

当时，若存在以为首项，公比为3的数列，．

则，，，．

所以满足条件的数列的通项公式为．          16分

（1）；（2）3

试题分析：(1)由一元二次不等式的解集有且只有一个元素可判断对应方程的判别式等于零，再根据单调性确定参数的值，然后求数列的通项公式；(2)根据新定义，代入解不等式即可，需要注意的特殊性

试题解析：（1）由①的解集有且只有一个元素知

或          4分

当时，函数在上递增，此时不满足条件②      6分

综上可知

          8分

（2）由条件可知

当时，令或

所以或            13分

又时，也有            15分

综上可得数列的变号数为3            16分

（１）；（２）见解析；（３）.

试题分析：（１）利用的关系得到，可见为等差数列；（２）利用等比数列定义证明即可；（３）写出通项公式，然后分组求和,注意在特殊位置.

试题解析：(1)由得,

∴    

(2)∵,∴,

∴;

，∴由上面两式得,又。∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.

(3)由(2)得，∴

前n项和.

（1）略 （2）

本试题主要是考查了数列的通项公式与前n项和的关系式的运用。以及运用求和得到不等式的证明。

（1）由知，当时：将第n项变为前n项的和的关系式，化简变形，即得到，

分析得证。

（2）因为由1知，∴ 

∴

=

得到前n项和的结论，放缩法得到结论。