- 等差数列
- 共11217题
已知Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，Sn=
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2an+bn，求数列{bn}的通项公式bn．
正确答案
（本小题满分15分）
（1）∵Sn=
∴当n=1时，2a1=a12+a1，
解得a1=1或a1=0（舍去）…（2分）
当n≥2时，Sn=
Sn-1=
①-②得：a2n-a2n-1-an-an-1=0…（2分）
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=1．
所以{an}是等差数列．…（3分）
（2）由（1）知an=1+（n-1）×1=n…（1分）
bn+1=2an+bn，
b2-b1=2，
b3-b2=22，
…
bn-bn-1=2n-1，
以上各式相加得：bn-b1=2+22+…+2n-1=
∴bn=2n…（1分）
若实数x，a1，a2，a3，y成等差数列，实数x，b1，b2，b3，y成等比数列，则
正确答案
∵实数x，a1，a2，a3，y成等差数列，实数x，b1，b2，b3，y成等比数列，
∴x+y=a1+a3=a22，xy=b1b3=b22，
∴
故答案为：[4，+∞）
在等差数列{an}中，an≠0，当n≥2时，an+1-an2+an-1=0，若S2k-1=46，则k的值为______．
正确答案
∵数列{an}为等差数列．
∴an+1+an-1=2an∵an+1-an2+an-1=0，联立方程求得an=2
当n=2时，a3+a1=2a2，
∴a1=2a2-a3=2
∴S2k-1=（2k-1）•2=46，解得k=12
故答案为12．
设等差数列{an}的前n项和为sn，若S7=S9=63，则a2+a4+a8=______，sn的最大值为______．
正确答案
依题意可知
S7=
S10=
∴a4=9，a2+a8=14
∴a2+a4+a9=9+14=23
∵S9-S7=0，即a9+a8=0
∴a8＞0，a9＜0
∴sn的最大值为S8，S8=8a1+28d=64
故答案为23，64
已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求数列{
正确答案
(1) an=2n+ (2) Tn=
(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
则
解得
(2)由bn+1-bn=an,
∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*),
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2),
当n=1时,b1=3也适合上式,
∴bn=n(n+2)(n∈N*).
∴
Tn=
=
已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1-an，其中n=1，2，3，…
（1）若a1=1，bn=n，求数列{an}的通项公式；
（2）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．记cn=a6n-1（n≥1），求证：数列{cn}为等差数列．
正确答案
（1）当n≥2时，有
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=a1+b1+b2+…+bn-1（4分）
=1+
又因为a1=1也满足上式，所以数列{an}的通项为an=
（2）由题设知：bn＞0，对任意的n∈N+有
bn+2bn=bn+1，bn+1bn+3=bn+2得bn+3bn=1，
于是又bn+3bn+6=1，故bn+6=bn（9分）
∴b6n-5=b1=1，b6n-4=b2=2，
b6n-3=b3=2，b6n-2=b4=1，
b6n-1=b5=
∴cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4
=1+2+2+1+
所以数列{cn}为等差数列．（16分）
已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，
正确答案
∵a1，
∴a3=a1+2a2，又数列{an}为等比数列，
∴a1q2=a1+2a1q，
∵等比数列{an}中，各项都是正数，
∴a1＞0，q＞0，
∴q2-2q-1=0，
解得：q=
∴q=1+
则
故答案为：3+2
如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，那么这个数列的通项公式是an=______．
正确答案
∵Sn=2n2-3n
∴a1=s1=-1
当n≥2时，an=sn-sn-1=2n2-3n-2（n-1）2-3（n-1）=4n-5
当n-1时，a1=s1=-1适合上式
故an=4n-5
故答案为：4n-5
已知数列{an}的通项公式an=5+3n，求：
（1）a7等于多少；
（2）81是否为数列{an}中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由．
正确答案
（1）∵数列{an}的通项公式an=5+3n
∴a7=5+3×7=26
（2）假设81是数列{an}中的项，则81=5+3n
∴n=
∵n∈N*
所以81不是数列{an}中的项．
已知点集L＝{(x，y)|y＝m·n}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求
(3)设cn＝
正确答案
（1）bn＝2n－1(n∈N*)．（2）3.（3）
(1)由y＝m·n，
m＝(2x－2b,1)， n＝(1,1＋2b)，得y＝2x＋1，
即L的轨迹方程为y＝2x＋1.
∵P1为L的轨迹与y轴的交点，
∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1，
∵数列{an}为等差数列，且公差为1，
∴an＝n－1(n∈N*)，
代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)，
∴
＝5n2－n－1＝5
∵n∈N*，
∴当n＝1时，
(3)当n≥2时，由Pn(n－1,2n－1)，
得an·|PnPn＋1|＝
cn＝
∴c2＋c3＋…＋cn＝
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