热门试卷

（1）；（2）626；（3）见解析.

本试题主要是考查了数列的新的定义，理解概念并能运用所学的求解数列的和的最值问题和数列和的运算。

解：（1）设的公差为，则，解得 ，

数列为．     

（2）

，  

，

当时，取得最大值．  

的最大值为626．    

（3）所有可能的“对称数列”是：

① ；

② ；

③ ；

④ ．              

对于①，当时，．    

当时，

．     

对于②，当时，．

当时，．

对于③，当时，．

当时，．

对于④，当时，．

当时，．

(Ⅰ)

（Ⅱ），即

(Ⅰ)解：∵

∴ 

∴数列是首项为（），公比为2的等比数列，………………4分

， 

，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列

，∴…                     …………………7分

（Ⅱ）令代入得：

解得: 

由此可猜想，即 …………………10分

下面用数学归纳法证明：

（1）当n＝1时，等式左边＝1，右边＝,

当n＝1时，等式成立，

（2）假设当n＝k时，等式成立，即 

当n＝k＋1时

∴当n＝k＋1时，等式成立，

综上所述，存在等差数列，使得对任意的有成立。             …………………14分

（1）由题知a3+a4=a2+a5=22，a3•a4=117，

所以，a3=9，a4=13或a3=13，a4=9，

所以公差d=±4，又因为d＞0，

所以d=4，因此an=4n-3（4分）

（2）∵Sn==n（2n-1），

所以bn==，

由{bn}是等差数列得，2b2=b1+b3，

∴=+，整理得：2c2+c=0，

∴c=-，（其中c=0舍去）（8分）

（3）由（2）知bn=2n，

∴f（n）===≤=．

当且仅当n=，即n=6时取得等号．即f（n）max=．

（1），；（2）。

试题分析：（1）根据利用求出数列的递推关系式，再利用累乘法数列的通项公式；（2）利用错位相减法求出，易知，再根据数列的单调性可知；  

（3）把代入整理得，然后参变量分离

得，构造函数，求的最大值，或者是直接构造函数

，然后对二次项系数进行讨论，转化为求二次函数最值问题。

（1）,

∵，∴ ()，

两式相减得，()

∴，即( ),     

∴()，

又,也满足上式，故数列的通项公式()。

由，知数列是等比数列，其首项、公比均为，

∴数列的通项公式。

（2）（1）∴    ①

∴         ②

由①-②,得,

∴ 

又恒正,

故是递增数列,， ∴ 。

又不等式

即，即（）恒成立.

方法一：设（），

当时，恒成立，则满足条件；

当时，由二次函数性质知不恒成立；

当时，由于对称轴，则在上单调递减，

恒成立，则满足条件，

综上所述，实数λ的取值范围是。

方法二：也即（）恒成立，

令．则,  

由，单调递增且大于0，∴单调递增，

当时，，且，故，∴实数λ的取值范围是。   及累乘法求数列的通项公式；（2）利用错位相减法进行数列求和；（3）数列单调性的判断；（4）构造函数解决不等式恒成立问题。

（1），，，，由此归纳：.（2）详见解析

试题分析：（1）根据题意将n取几个特定的值即可分别求出：，，，，由其中的规律不难发现： ;（2）根据题中条件有，不难解得，即有：，最后结合二项式定理的有关知识可得n的一个关系式：，可见当为奇数时，即可得证．

（1），，，，

由此归纳：.                                4分

（2） 由，得，

，由二项式定理得

，

当为奇数时，有整数解， .                 10分

,

解：（I）由已知得 

又

                    …………2分

是以为首项，以为公比的等比数列.                           …………4分

（II）由（I）知，

…………6分

将以上各式相加得：

…………8分

（III）存在，使数列是等差数列，先证明如下

…………10分

…………12分

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.…………14分

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，

由题意知

∴

∴a1=d，d=2．an=2n-1．（6分）

证明：（Ⅱ）由S()=1×+3×(

1

2

)2+…+(2n-1)×(

1

2

)n，①

则S()=1×(

1

2

)2+…+(2n-3)×(

1

2

)n+(2n-1)×()n+1②

①-②得，S()=+2[(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]-(2n-1)•(

1

2

)n+1

=+-(2n-1)•()n+1

=-()n-1-(2n-1)•()n+1＜（n是正偶数），

∴S()＜3.（13分）