热门试卷

(1)

(2) 数列中的最大项为

解：（1）由已知：对于，总有 ①成立

∴②  

①②得

∴∵均为正数，∴   

∴数列是公差为1的等差数列     又=1时，， 解得=1.

∴.                               ………………………………………6分             

（2）(解法一)由已知 ，      

易得　 猜想 时，是递减数列.．．．．．．．．．．．8分            

令

∵当

∴在内为单调递减函数.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

由.

∴时, 是递减数列.即是递减数列.

又 , ∴数列中的最大项为.   ………………………………12分

（1）数列是以为首项，公差为1的等差数列．

（2）存在，使得对任意，都有。

解：（1）由已知，（，），

即（，），且．…2分

∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．

∴．………………………4分

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．……………………6分

（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，…………………7分

当且仅当时，有最小值为1，

∴．………………………9分

（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，……………10分

当且仅当时，有最大值，

∴．……………………12分

即，又为非零整数，则．

综上所述，存在，使得对任意，都有．…………………14分

（I）见解析

（II）当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．

（III）实数的取值范围是

（I）∵，，，

∴． 即．

又，所以．

∵，

∴是以为首项，公比为的等比数列．

（II）由（I）可知 （）．

∴．

．

当n=7时，，；

当n<7时，，；

当n>7时，，．

∴

当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．

（III）由，得      （*）

依题意（*）式对任意恒成立，

当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．

②当t<0时，由，可知（）．

而当m是偶数时，因此t<0不合题意．

③当t>0时，由（）,

∴   ∴． （）

设    （）

∵ =,

∴．∴的最大值为．

所以实数的取值范围是．

（1）   （2） （3）见解析

 （1）解：当时，有，

由于，所以．

当时，有，即，

将代入上式，由于，所以．

（2）解：由，

得，                           ①

则有．              ②

②－①，得，

由于，所以．                 ③

同样有，                      ④

③－④，得．

所以．

由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

故．

（3）证明1：由于，

，

所以．

即．

令，则有．

即，

即

故．

证明2：要证，

只需证，

只需证，

只需证．

由于

．

因此原不等式成立．

；

（1），

将

将这n－1个同向不等式相加，得

（2）

.

（1） （2）

（I）由题意知

是等差数列.

（II）由题设知

是等差数列.

∴当n=1时，；

当

经验证n=1时也适合上式.

，

∴

，∵，∴. 即是以2为公差的等差数列，且.

∴

(Ⅰ) n(Ⅱ)见解析

(Ⅰ)当时，由得.  2分

若存在由得，

从而有，与矛盾，所以.

从而由得得.    6分

(Ⅱ)①证明：

证法一：∵∴

∴ 

∴.     10分

证法二：，下同证法一.           10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，

又因为，所以.即

                10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

②假设时,命题成立,即,

则当时,

   即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.         10分

②由于，

所以，

从而.

也即      14分