热门试卷

（1）    （2）（3）证明见答案

（1），

所以。

整理得：。

当时，是常数列，得；

当时，是以为首项，为公比的等比数列，所以

由上式得，

即，所以。

又，当时上式仍然成立，故。

（2）。因为，

所以，即。从而，，于是

（3）且，所以

因为，

所以，从而原命题得证。

见解析。

（I）有 易得

（Ⅱ）由得=…=

又所以      

（Ⅲ）

(1)（2）的最大值为18。

（1）由题意，当

当

则

则

即

则数列是首项为1，公差为0的等差数列。

从而，则数列是首项为1，公差为1的等差数列。

所以， 

（2） 

所以，

由于

因此单调递增，故的最小值为 

令，所以的最大值为18。

法一：

（Ⅰ）∵Sn2=a13+a23+…+an3，

∴Sn-12=a13+a23+…+an-13，

两式相减，得an3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1），

∵an＞0，∴an2=Sn+Sn-1（n≥2），

∴an-1 2=Sn-1+Sn-2(n≥2)，

两式相减，得an2-an-12 =Sn-Sn-2=an+an-1，

∴an-an-1=1（n＞3），

∵S12=a12=a13，且a1＞0，∴a1=1，

S22=(a1+a2)2=a13+a23，

∴（1+a2）2=1+a23，∴a23-a22-2a2=0，

由a2＞0，得a2=2，

∴an-an-1=1，n≥2，

故数列{an}为等差数列，通项公式为an=n．

（Ⅱ）bn=(1-)2-a(1-)=++1-a，

令t=，则bn=t2+(a-2)t+1-a，

设g（t）=t2+（a-2）t+1-a，

当＞时，即a＜时，g（t）在（0，]上为减函数，

且g() ＞g(1)，∴b1＜b2＜b3＜…

当≤时，即a≥时，g() ≤g(1)，从而b2≤b1不合题意，

∴实数a的取值范围a＜．

法二：

（Ⅰ）同法一．

（Ⅱ）bn+1-bn=(-)(++a-2)＞0，

∴++a-2＜0，

即a＜2--对任意n∈N*成立，

∴实数a的取值范围a＜．

（I）由题意可得，2an=2+Sn①

∴2an-1=2+Sn-1（n≥2）②

①-②可得，an=2an-1（n≥2）

∵2a1=2+S1∴a1=2

由等比数列的通项公式可得，an=2n

（II）∵bn=log2an=n，Cn==

∴Tn=+++…+①

∴Tn=++…++②

①-②可得，Tn=++…+-=-

∴Tn=2-

①当n=1时，a1=s1=

②当n≥2时，由an=sn-sn-1得an=（n2+）-[（n-1）2+（n-1）]=2n-

又a1=满足an=2n-，所以此数列的通项公式为an=2n-．

因为an-an-1=（2n-）-[2（n-1）-]=2，

所以此数列是首项为，公差为2的等差数列．它的首项和公差分别是和2．

（1）因为a1，a2+5，a3成等差数列，所以a1+a3=2（a2+5），①，

当n=1时，2a1=a2-3，②

当n=2时，2（a1+a2）=a3-7，③

所以联立①②③解得，a1=1，a2=5，a3=19．

（2）由2sn=an+1-2n+1+1，①得2sn-1=an-2n+1(n≥2)，②，

两式相减得2an=an+1-an_2n(n≥2)，所以==3(n≥2)．

因为=3，所以{an+2n}是首项为3，公比为3的等比数列．所以an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，

所以an+2n=3n，即an=3n-2n．

（3）因为an+1=3n+1-2n+1＞2×3n-2n+1=2an，所以＜⋅，

所以当n≥2时，＜⋅，＜⋅…＜⋅，两边同时相乘得＜(

1

2

)n-2⋅，

所以++…+≤1++×+…+(

1

2

)n-2×＜＜．