- 等差数列
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已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2S2是S1与3S3的等差中项,则数列{an}的公比为______.
正确答案
因为2S2是S1与3S3的等差中项,
所以4S2=S1+3S3所以4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)
解得q=
故答案为
已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和为Sn,Tn,若对于任意的自然数n,都有=
,则
+
=______.
正确答案
∵等差数列{an},{bn}的前 n 项和为Sn,Tn,
对于任意的自然数n,都有=
,
∴+
=
+
=
=
=
=
=.
故答案为:.
设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-17,a4+a6=-10,则当Sn取最小值时,n的值为______.
正确答案
∵数列{an}为等差数列
又∵a4+a6=-10,
∴a5=-5,
又∵a1=-17,
∴d=3
a6<0,a7>0
故当Sn取最小值时,n的值为6
故答案为6
在中,角
的对边分别为
,且
成等差数列
(1)若,求
的面积
(2)若成等比数列,试判断
的形状
正确答案
(1)(2)等边三角形.
试题分析:(1)根据A、B、C成等差数列,结合A+B+C=π算出B=,再由正弦定理得:
.根据b>c得C为锐角,得到C=
,从而A=π-B-C=
,△ABC是直角三角形,由此不难求出它的面积.
(2)根据正弦定理,结合题意得b2=ac,根据B=,利用余弦定理,得b2=a2+c2-ac,从而得到a2+c2-ac=ac,整理得得(a-c)2=0,由此即可得到△ABC为等边三角形.
试题解析:∵A、B、C成等差数列,可得2B=A+C.
∴结合A+B+C=π,可得B=.
(1)∵,
∴由正弦定理得
,
∵b>c,可得B>C,∴C为锐角,得C=,从而A=π-B-C=
.
因此,△ABC的面积为S=bc=
×
×2=
.
(2)∵sinA、sinB、sinC成等比数列,即sin2B=sinAsinC.
∴由正弦定理,得b2=ac
又∵根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,
∴a2+c2-ac=ac,整理得(a-c)2=0,可得a=c
∵B=,∴A=C=
,可得△ABC为等边三角形.
在等差数列{an}中,an>0,且a1+a2+…+a10=30,则a5·a6的最大值是________.
正确答案
9
在等差数列中,a1+a2+…+a10=30,得5(a1+a10)=30,即a1+a10=a5+a6=6,由a5+a6≥2,∴6≥2
,即a5a6≤9,当且仅当a5=a6时取等号,∴a5a6的最大值为9.
在等差数列{an}中a5+a6=6,a15+a16=26,那么a25+a26的值是______.
正确答案
∵等差数列{an}中,a5+a6=6,a15+a16=26,
∴(a1+4d)+(a1+5d)=6,即2a1+9d=6①,
(a1+14d)+(a1+15d)=26,即2a1+29d=26②,
②-①得:20d=20,解得:d=1,
∴a1=-,
则a25+a26=(a1+24d)+(a1+25d)=2a1+49d=-3+49=46.
故答案为:46
若a,b,c成等比数列,且公比q≠-1,x为a,b的等差中项,y为b,c的等差中项,则+
=______.
正确答案
∵x为a,b的等差中项,y为b,c的等差中项
∴2x=a+b,2y=c+b
∴+
=2(
+
) =2(
)
又∵a,b,c成等比数列
∴b2=ac
∴+
=2
故答案是2
等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n,m,n∈N*),则Sm+n的值为______.
正确答案
数列{an}成等差数列的弃要条件是Sn=an2+bn(其中a,b为常数);
故有
两式想减得a(m2-n2)+b(m-n)=0,∵m≠n,
∴a(m+n)+b=0,
∴Sm+n=a(m+n)2+b(m+n)=(m+n)[a(m+n)+b]=0.
故答案为0
已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点p(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率是 ______.
正确答案
{an}是等差数列,S5=55,
∴5a3=S5=55
∴a3=11,
∵a4=15,
p(3,a3)=(3,11),Q(4,a4)=(4,15)
∴过点p(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率是=4
故答案为:4
已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)=______.
正确答案
a1+a7+a13=3a7=4π
∴a7=
∴tan(a2+a12)=tan2a7=tanπ=-
故答案为:-
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