热门试卷

解：（1）展开式的通项为，r=0，1，2，…，n

由已知，成等差数列，

∴，

∴n=8．

要求常数项，令，可得r=4，所以常数项为，

（2）在二项式中，

令x=1可得，（1﹣）8=，

则展开式中各项系数和为，

解：(1)当n≥2时，

，

又因为a1=1也满足上式，

所以数列{an}的通项公式为。

(2)①因为对任意的n∈N*，可得bn，

即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．

数列{bn}的前6项分别为1，2，2，1，，

所以

，

所以数列{cn}为等差数列。

②设(k≥0)(其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6})，

所以

，

所以数列(k∈N，i∈{1，2，3，4，5，6})均为以7为公差的等差数列，

设(其中n=6k+i(k≥0)，i∈{1，2，3 ，4，5 ，6})，

当时，对任意的n=6k+i有；

当时，

，

若，则对任意的k∈N有，所以数列为单调减数列；

若，则对任意的k∈N有，所以数列为单调增数列；

综上：设集合，

当a1∈B时，数列中必有某数重复出现无数次；

当a1B时，(i=1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，

所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，

故所求a1应满足的条件为。

解：（Ⅰ）当n≥2时，

有

，

又因为也满足上式，

所以数列{an}的通项为；

（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n∈N*有，

所以

，

所以数列{cn}为等差数列；

（ⅱ）设（其中i为常数且i∈），

所以，

所以数列均为以7为公差的等差数列，

设，

（其中n=6k+i（k≥0），i为中的一个常数），

当时，对任意的n=6k+i有；

当时，

，

①若，则对任意的k∈N有，所以数列为单调减数列；

②若，则对任意的k∈N有，所以数列为单调增数列；

综上：设集合，

当时，数列中必有某数重复出现无数次；

当时，均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次。

解：（1））∵an+1=2an+1（n∈N*），

∴an+1+1=2（an+1），

∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列

∴an+1=2n即an=2n-1（n∈N*）。

（2）∵

∴

∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，①

2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1 ②

②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，

即（n-1）bn+1-nbn+2=0，③

nbn+2-（n+1）bn+1+2=0 ④

③-④，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，

即bn+2-2bn+1+bn=0，

∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），

∴{bn}是等差数列。

（3）∵，k=1，2，3，···，n

∴

∵，k=1，2，3，···，n

∴

∴。

解：（1）当n=1时，S1=a1=1；

当 n≥2时，an=Sn-Sn-1=，

而≠0，

∴，

∴数列是一个等差数列。

（2）由（1）得，

当n=1时，a1=S1；

当n＞1时，an=Sn-Sn-1=，

∴an=。

解：（Ⅰ）①设等差数列{an}的公差为d，

则，

因为是等差数列，

所以，即，

解得d=0或d=1，

因为d≠0，所以d=1，

此时，

即是等差数列，

所以an=n，；

②由①得，

所以，

因为，

所以，所以；

（Ⅱ）假设存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使对一切n∈N*都成立，

则，

所以，

所以，

若，则，

所以当n∈N*时，，即，

因为cn∈N*，所以，

令c1=M，

所以（c2-c1）+c1≤-（M+1）+M=-1＜0，

与矛盾；

若，取N为的整数部分，

则当n≥N时，，

所以，即，

因为cn∈N*，所以，

令cN=M，

所以

≤-（M+1）+M=-1＜0，

与矛盾；

综上，假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使对一切n∈N*都成立。

解：（1）由，

整理后，可得，

∵m、k∈N*，

∴k-2m为整数，

∴不存在m、k∈N*，使等式成立。

（2）若，（*）

（ⅰ）若d=0，则，

当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求。

（ⅱ）若d≠0，（*）式等号左边取极限得，

（*）式等号右边的极限只有当q=1时，才能等于1。此时等号左边是常数，

∴d=0，矛盾。

综上所述，只有当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求。

（3），

设，

，

∴，

∵p、k∈N*，

∴，

取，

由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1，

，

∴，

∴存在整数m满足要求；

故当且仅当p=3s，s∈N时，命题成立。

证明：（1）当k为偶数时，f（x）=x2﹣2lnx，

f'（x）=2x﹣=，f'（an）=

由已知，得出2（﹣1）=﹣3，

∴+1=2（+1），数列{+1}是以2为公比，以=2为首项的等比数列．

∴+1=22n﹣1=2n，=2n﹣1，

假设数列中存在不同三项构成等差数列，

不妨设r＜s＜t，则，

即2（2s﹣1）=2r﹣1+2t﹣1，2s+1=2r+2t，2s﹣r+1=1+2t﹣r又s﹣r+1＞0，t﹣r＞0，

∴2s﹣r+1为偶数，1+2t﹣r为奇数，矛盾．故假设不成立．

因此数列中任意不同三项不能构成等差数列．

（2）当k为奇数时，f（x）=x2+2lnx，f'（x）=2x+=2（），

即证﹣2n﹣12（）≥2n（2n﹣2）

即证﹣（）≥2n﹣2．

数学归纳法

当n=1时，左边=0，右边=0，不等式成立．

设当n=k（k≥1）时成立．即﹣（）≥2k﹣2成立，

则当n=k+1时，﹣（）=﹣（）

≥[（2k﹣2）+（）]﹣（）

=（2k﹣2）++xk﹣1+﹣（）

=（2k﹣2）+xk﹣1+

≥（2k﹣2）2+2

=2k+1﹣2

即当n=k+1时不等式成立．

综上所述，对任意正整数n不等式成立．

(1)解：，

；

(2)①解：因为，

所以，对任意的n∈N*有，

即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．

又数列{bn}的前6项分别为1，2，2，1，，且这六个数的和为7。

设数列{bn}的前n项和为Sn，则

当n=2k(k∈N*)时，；

当n=2k+1(k∈N*)时，

，

所以，当n为偶数时，；当n为奇数时，；

②证明：由①知：对任意的n∈N*有bn+6=b6，

又数列{bn}的前6项分别为1，b，b，1，，且这六个数的和为，

设(其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6})，

所以

，

所以，数列{a6n+i}为以为公差的等差数列．

因为b＞0时，，b＜0时，，

所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次，

所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，

即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次。