热门试卷

解：(Ⅰ)由已知an+1=2an+2n得，

又b1=a1=1，

因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，即，

Sn=1+2·21+3·22+…+n·2n-1，

两边乘以2，得2Sn=2+2·22+…+n·2n，

两式相减，得Sn=-1-21-22-...-2n-1+n·2n=-(2n-1)+n·2n= (n-1)2n+1。

假设存在这样的三个数，

∵a、b、c成等差数列，

∴2b=a+c，又a+b+c=6，

∴b=2，

设a=2-d，b=2，c=2+d，

①若2为等比中项，则22=（2+d）（2-d），

∴d=0，则a=b=c，不符合题意；

②若2+d为等比中项，则（2+d）2=2（2-d），

解得d=0（舍去）或d=-6，

∴a=8，b=2，c=-4；

③若2-d为等比中项，则（2-d）2=2（2+d），

解得d=0（舍去）或d=6，

∴a=-4，b=2，c=8，

综上所述，存在这样的三个不相等数，同时满足3个条件，它们是8，2，-4或-4，2，8．

由已知，S3，S9，S6成等差数列，S3+S6=2S9

若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．

即得3a1+6a1=18a1，得a1=0，不符合．∴q≠1．

∴+=

整理得q3（2q6-q3-1）=0．

由q≠0得方程2q6-q3-1=0．（2q3+1）（q3-1）=0，∵q≠1，q3-1≠0，

∴2q3+1=0，q3=-．

=q6= (q3)2 =，==-2，≠．

所以a2，a8，a5不成等比数列．

证明：假设：成等差数列，

则，

而b2=ac，即

所以，即，

从而a=b=c，与a、b、c不成等差数列矛盾，

故不成等差数列。

解：（1）∵an-1-an-4an-1an=0（n≥2，n∈N*），

∴两边同除以an-1an得（n≥2，n∈N*）， 

∴数列是以为首项，4为公差的等差数列；

（2）由（1）得

∴，

∴

设a1a2是数列中的第t项，则，解得t=11

∴a1a2是数列中的第11项。

设四数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则4a=26，a2-d2=40

即a=，d=或-

当d=时，四数为2，5，8，11

当d=-时，四数为11，8，5，2

设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d．

∴bn=()a1+(n-1)d

b1b3=()a1•()a1+2d=()2(a1+d)=b22．

由b1b2b3=，得b23=，

解得b2=．

代入已知条件

整理得

解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2

∴a1=-1，d=2或a1=3，d=-2．

所以，当a1=-1，d=2时

an=a1+（n-1）d=2n-3．

当a1=3，d=-2时

an=a1+（n-1）d=5-2n．

设四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，据题意得可得 （a-3d）2+（a-d）2+（a+d）2+（a+3d）2=94，

故有2a2+10d2=47．①

又（a-3d）（a+3d）=（a-d）（a+d）-18，可得8d2=18，解得 d=±．

代入①得a=±，故所求四数为8，5，2，-1，或1，-2，-5，-8，或-1，2，5，8，或-8，-5，-2，1．

证明：（1）∵Sn+1=4an+2，

∴Sn+2=4an+1+2，两式相减，

得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an（n=1，2，3…），

即an+2=4an+1-4an，

变形得an+2-2an+1=2（an+1-2an），

∵bn=an+1-2an（n=1，2，…），

∴bn+1=2bn，

由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，

得a2=5，b1=a2-2a1=3，

由此可知，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2n-1；

（2）∵

∴

将bn=3·2n-1代入得

由此可知，数列{cn}是公差为的等差数列，

它的首项c1，

故。