等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知正项数列{an}的前项和为Sn，且满足．

（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；

（Ⅱ）设；

（Ⅲ）设，求证：．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵2=an+1，

∴，

∴a n+1=S n+1﹣Sn=﹣=，

即：2（a n+1+an）=（an+1+an）（an+1﹣an），

∴（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，

∵an＞0，∴a n+1+an＞0，

∴an+1﹣an﹣2=0，

∴a n+1﹣an=2，

当n=1时，S1=，即a1=，

∴，解得a1=1．

∴数列{an}是首项为a1=1，公差d=2的等差数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，

∵=，

∴Tn=b1+b2+…+bn=， ①

=， ②

①﹣②得：==，

∴．

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得：=，

∴==，

∴c1+c2+c3+…+cn=

=，

故，．

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题型：简答题

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简答题

设函数方程f（x）=x有唯一的解，已知f（xn）=xn+1（n∈N﹡）且

（1）求证：数列{}是等差数列；

（2）若，求sn=b1+b2+b3+…+bn；

（3）在（2）的条件下，若不等式对一切n∈N﹡均成立，求k的最大值．

正确答案

（1）证明：由题意得：ax2+（2a﹣1）x=0（a≠0）有唯一解，得

∴f（x）=

∵f（xn）=xn+1（n∈N﹡）

∴

∴，即

∴数列{}是等差数列；

（2）解：由，即，

解得x1=1故，即

∴，

∴

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣+﹣+…+）=

（3）解：（理）∵

∴原不等式即为对一切n∈N*，

不等式恒成立，

设，

则h（n）＞0

即h（n）随n递增，

故，

所以k的最大值为

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题型：简答题

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简答题

△ABC的三边a＞b＞c且成等差数列，A、C两点的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），求顶点的轨迹．

正确答案

解：由条件△ABC的三边a＞b＞c成等差数列，

A、C两点的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），

得a+c=2b，即BC+BA=4＞2，

所以B满足椭圆的定义，

所以长轴长为4，焦距为2，短轴长为，

所以顶点B的轨迹方程为，

又因为a＞b＞0，

所以BC＞AB，所以x＜0．

又因为B、A、C不能在一直线上，

所以x≠﹣2

所以顶点B的轨迹方程为（﹣2＜x＜0），．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率，且经过点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，求直线l的方程。

正确答案

解：（1）设椭圆C的方程为（其中a>b>0），

由题意知，且

解得a2=4，b2=2，c2=2，

所以椭圆C的方程为。

（2）由于|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，

则|F1A|+|BF1|=2|AB|，

而|F1A|+|AB|+|BF1|=4a=8，

所以|AB|=

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=

代入椭圆C的方程

化简，得

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则

又

解得k=±1；

当直线l的斜率不存在时，，代入椭圆方程，得y=±1，

∴|AB|=2，不合题意，

所以，直线l的方程为。

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题型：简答题

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简答题

已知点Pn（an，bn）（n∈N*）满足an+1=anbn+1，，且点P1的坐标为（1，-1），

（Ⅰ）求经过点P1，P2的直线l的方程；

（Ⅱ）已知点Pn（an，bn）（n∈N*）在P1，P2两点确定的直线l上，求证：数列是等差数列；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N*，能使不等式（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥

成立的最大实数k的值。

正确答案

解：（Ⅰ）因为，所以，

所以，

所以过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1。

（Ⅱ）因为Pn（an，bn）在直线l上，所以，

所以，

由，

所以，

所以是公差为2的等差数列；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，

所以，所以，

所以，

依题意恒成立，

设，

所以只需求满足k ≤F（n）的F（n）的最小值，

因为

，

所以F（n）（x∈N*）为增函数，

所以，

所以。

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题型：填空题

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填空题

已知a，b，c，d成等差数列，抛物线y=x2-2x+5的顶点是(a，d)，则b+c的值是（）。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足，，．

（1）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；

（2）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

正确答案

解：（1）设点P的坐标为（x，y），

由，得点M是线段FT的中点，则

，，

又，

由，得，①

由，得（﹣1﹣x）×0+（t﹣y）×1=0，

∴t=y ②

由①②消去t，得

y2=4x

即为所求点P的轨迹C的方程

（2）证明：设直线TA，TF，TB的斜率依次为k1，k，k2，

并记A（x1，y1），B（x2，y2），则

设直线AB方程为x=my+1

，

得y2﹣4my﹣4=0，

∴，

∴y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=16m2+8，

∴

=

=﹣t=2k

∴k1，k，k2成等差数列

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题型：简答题

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简答题

设数列{an} 为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn} 的前n项和为Sn=1﹣（n∈

N*），

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若cn=anbn，n=1，2，3，…，求数列{cn}的前n项和Tn．

正确答案

（Ⅰ）解：∵数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，

∴公差d= =3，

∵a5=a1+4×3=14，

∴a1=2． ∴an=2+（n﹣1）×3=3n﹣1．

∵数列{bn}的前n项和为Sn=1﹣ （n∈N*），

∴ ， bn=Sn﹣Sn﹣1=[1﹣ ]﹣[1﹣ ]= ，

当n=1时， = ， ∴ ．

（Ⅱ）由an=3n﹣1，，得cn=an·bn= ，

∴ ，

Tn= ，

两式相减，得，

∴ ．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}为公差大于0的等差数列，Sn为其前n项和，且a1a6=21，S6=66．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足，求{bn}的前n项和Tn；

（3）若数列{cn}是等差数列，且cn=，求常数p．

正确答案

解：（1）∵S6=66=，∴a1+a6=22．

再由a1a6=21 可得 a1 和a6是方程 x2﹣22x+21=0的两个根，

再由公差大于0可得 a1=1，a6=21，

由于a6=21=a1+5d，故公差d=4，

故 an =4n﹣3．

（2）=x4n+9，

当x=0时，=0，{bn}的前n项和 Tn=0．

当x=1时，=1，{bn}的前n项和 Tn=n．

当x≠0 且x≠1时，，{bn}的前n项和 Tn=．

综合可得，{bn}的前n项和．

（3）∵Sn=n×1+=2n2﹣n，

∴cn==．

∵{cn}是等差数列，

∴c1+c3=2c2，即 +=2×，

由此解得 p=0，或 p=﹣．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1．

（1）设bn=an+1﹣2an，求证{bn}是等比数列

（2）设，求证{Cn}是等差数列

（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式

正确答案

解：（1）Sn+1=Sn+an+1=4an﹣1+2+an+1∴4an+2=4an﹣1+2+an+1

∴an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）

即：且b1=a2﹣2a1=3

∴{bn}是等比数列

（2）{bn}的通项bn=b1·qn﹣1=3·2n﹣1

∴

又 ∴{Cn}为等差数列

（3）∵Cn=C1+（n﹣1）·d

∴

∴an=（3n﹣1）·2n﹣2（n∈N*）

Sn+1=4·an+2=4×（3n﹣1）×2n﹣2+2=（3n﹣1）×2n+2

∴Sn=（3n﹣4）2n﹣1+2（n∈N*）

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