等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知数列满足，。

（1）求、、；

（2）是否存在实数t，使得数列是公差为-1的等差数列，若存在求出t的值，否则，请说明理由；

（3）记，数列的前n项和为Sn，求证：。

正确答案

解：（1），，

∴。

（2）

∴数列是公差为的等差数列，

由题意，得，

∴

（3）由（2）知，

所以，

此时，

∴Sn=

，

故。

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题型：简答题

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简答题

如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am-1，…，am=a1，即ai=am-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”。

例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”。

（1）设{bn}是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11，依次写出{bn}的每一项；

（2）设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S；

（3）设{an}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列，求{dn}前n项的和Sn（n=1，2，…，100）。

正确答案

解：（1）设数列的公差为d，

则，解得d=3，

∴数列为2，5，8，11，8，5，2。

（2）

=67108861。

（3），

由题意，得是首项为149，公差为-3的等差数列，

当n≤50时，；

当51≤n≤100时，

，

综上所述，。

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题型：简答题

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简答题

数列{an}是首项a1=4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=log2|an|，设Tn为数列的前n项和，若Tn≤λbn+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

正确答案

解：（1）∵S3，S2，S4成等差数列

∴2S2=S3+S4即2（a1+a2）=2（a1+a2+a3）+a4所以a4=﹣2a3∴q=﹣2

an=a1q n﹣1=（﹣2）n+1（2）bn=log2|an|=log22 n+1=n+1

=

Tn=（﹣）+（﹣）+…+（）=﹣

λ≥==×

因为n+≥4，所以×≤

所以λ最小值为

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数表：

上表共有n行，其中第1行的n个数为a1，a2，a3…an，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b1，b2，b3…bn．（1）求证：数列b1，b2，b3…bn成等比数列；

（2）若ak=2k﹣1（k=1，2，…，n），求和．

正确答案

（1）证明：由题设易知，=，

=．

设表中的第k（1≤k≤n﹣1）行的数为c1，c2…cn﹣k+1，显然c1，c2…c n﹣k+1，成等差数列，

则它的第k+1行的数是c1+c2，c2+c3…c n﹣k+c n﹣k+1也成等差数列，

它们的平均数分别是，

b k+1=c1+c n﹣k+1，

于是（1≤k≤n﹣1，k∈N*）．

故数列b1，b2…bn是公比为2的等比数列．

（2）由（1）知，=，

故当ak=2k﹣1时，，．

于是n．

设，则S=1×20+3×21+5×22+…+（2n﹣1）×2 n﹣1 ①

2S=12+3×22+…+（2n﹣3）×2 n﹣1+（2n﹣1）×2n ②

①﹣②得，﹣S=1×20+2（2+22+…+2 n﹣1）﹣（2n﹣1）2n，

化简得，S=（2n﹣1）2n﹣2 n+1+3，

故=n（2n﹣1）×2n﹣n×2 n+1+3n．

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题型：简答题

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简答题

定义数列{an}：a1=1，当n≥2 时，，其中，r≥0常数。

（1）当r=0时，Sn=a1+a2+a3+…+an。

①求：Sn；

②求证：数列{S2n}中任意三项均不能够成等差数列。

（2）求证：对一切n∈N*及r≥0，不等式恒成立。

正确答案

解：（1）当r=0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8，

从而猜出数列均为等比数列。

∵，

∴数列均为等比数列，∴。

①∴，

，

∴。

②证明（反证法）：假设存在三项是等差数列，即成立。

因m，n，p均为偶数，设，

∴，即，

∴，

而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾。

（2）∵，

∴，

∴是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴。

又∵，

∴，

∴是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴，

∴

，

∴

，

∵r≥0，

∴，∴。

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题型：简答题

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简答题

。

（1）

（2）；

（3）设，若对于恒成立，试求实数的取值范围。

正确答案

解：（1）由得，

，

∴ ，

，

∴。

（2），

。

（3）

=，

∴，

令，

；

∴，

又，

∴，

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}是首项为，公比的等比数列，设，

数列{cn}满足cn=an·bn．

（1）求证：{bn}是等差数列；

（2）求数列{cn}的前n项和Sn；

（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）由题意知，an=（）n．

∵，

∴b1=1∴bn+1﹣bn=3an+1

=3an=3

=3q

=3

∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．

（2）由（1）知，an=（）n．bn=3n﹣2

∴Cn=（3n﹣2）×（）n．

∴Sn=1×+4×（）2+…+（3n﹣2）×（）n，

于是Sn=1×（）2+4×（）3+…（3n﹣2）×（）n+1，

两式相减得

Sn=+3×[（）2+（）3+…+（）n）﹣（3n﹣2）×（）n+1，

=﹣（3n﹣2）×（）n+1，

∴Sn=﹣（）n+1（3）∵Cn+1﹣Cn=（3n+1）×（）n+1﹣（3n﹣2）×（）n=9（1﹣n）×（）n+1，

∴当n=1时，C2=C1=

又

∴≥

即m2+4m﹣5≧0

解得m≧1或m≤﹣5．

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}的前n项和为Sn，点P（Sn，an）在直线（3﹣m）x+2my﹣m﹣3=0上，（m∈N*，m为常数，m≠3）；

（1）求an；

（2）若数列{an}的公比q=f（m），数列{bn}满足，求证：为等差数列，并求bn；

（3）设数列{cn}满足cn=bnb n+2，Tn为数列{cn}的前n项和，且存在实数T满足Tn≥T，（n∈N*），求T的最大值．

正确答案

解：（1）由题设，（3﹣m）Sn+2man﹣m﹣3=0 ①

∴

由①，n≥2时，（3﹣m）S n﹣1+2ma n﹣1﹣m﹣3=0 ②

①﹣②得，，

∴．

（2）由（1）知，

化简得：

∴是以1为首项、为公差的等差数列，

∴

∴．

（3）由（2）知．

Tn为数列cn的前n项和，

因为cn＞0，所以Tn是递增的，．

所以要满足Tn≥T，（n∈N*），

∴

所以T的最大值是

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题型：简答题

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简答题

已知数列的前n项和为，对任意，点都在函数的图像上。

（1）求数列的通项公式；

（2）设，且数列是等差数列，求非零常数p的值；

（3）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。

正确答案

解：（1）

所以当n=1时，，

当时，，

所以数列的通项公式为（）。

（2）由已知，

因为是等差数列，可设（、b为常数），

所以，

于是，

所以，

因为p≠0，所以b=0，。

（3），

所以，

由，得，

因为，

所以，

所以，所求的最小正整数m的值为10。

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}的前n项和为Sn，点P（Sn，an）在直线（3﹣m）x+2my﹣m﹣3=0上，（m∈N*，m为常数，m≠3）；

（1）求an；

（2）若数列{an}的公比q=f（m），数列{bn}满足b1=a1，bn=f（bn-1），（n∈N*，n≥2），求证：为等差数列，并求bn；

（3）设数列{cn}满足cn=bnb n+2，Tn为数列{cn}的前n项和，且存在实数T满足Tn≥T，（n∈N*），求T的最大值．

正确答案

解：（1）由题设，（3﹣m）Sn+2man﹣m﹣3=0①

∴

由①，n≥2时，（3﹣m）S n﹣1+2ma n﹣1﹣m﹣3=0②

①﹣②得，，

∴．

（2）由（1）知，

化简得：

∴是以1为首项、为公差的等差数列，

∴

∴．

（3）由（2）知．

Tn为数列cn的前n项和，

因为cn＞0，所以Tn是递增的，．

所以要满足Tn≥T，（n∈N*），

∴

T的最大值是

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