热门试卷

A={x|x=3n+2，n∈N*}中的元素构成以5为首项，以3为公差的等差数列．

B={x|x=4m+1，n∈N*}中的元素构成以5为首项，以4为公差的等差数列．

则A∩B的元素构成以5为首项，以12为公差的等差数列．

故A∩B的第13个元素为 a1+12d=5+12×12=149．

故答案为149．

（Ⅰ）依题意，f(x)+2=a(x+1)(x-)（a＞0），

即f(x)=ax2+x--2

令α=，β=π，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，

得f（1）=0，即a+--2=0，得a=．

∴f(x)=x2+x-．-（4分）

（Ⅱ）f'（x）=3x+1，则3an+1=1-=1-=

即an+1=，两边取倒数，得=3+，即bn+1=3+bn．

∴数列bn是首项为b1==1，公差为3的等差数列．

∴bn=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N*）．（9分）

（Ⅲ）∵cos（bnπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）n

∴Sn•cos（bnπ）=（-1）n•Sn∴Tn=-S1+S2-S3+S4-+（-1）nSn．

（1）当n为偶数时Tn=（S2-S1）+（S4-S3）++（Sn-Sn-1）=b2+b4++bn

==(4+3n-2)=

（2）当n为奇数时Tn=Tn-1-Sn=-=

综上，Tn=（13分）

（Ⅰ）对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，

所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），

即an+1-a1=an+2-a2，

亦即an+2-an-1=a2-a1=2．

故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．

于是an=1+（n-1）×2=2n-1

（Ⅱ）若对于任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，

则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，

得an+2-a2=q（an+1-a1），

即an+2-qan+1=a2-a1．由n=1有B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．

因为an＞0，所以==q，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，

（Ⅲ）（理科）

由题意得p≤(1+)(1+)…(1+)对n∈N*恒成立

记F(n)=(1+)(1+)…(1+)，

则===＞=1

∵F（n）＞0，

∴F（n+1）＞F（n），

即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为F(1)=，

∴p≤，

即pmax=．

（1）an=a1+（n-1）d=4+n-1=n+3．

当n=1时，b1=S1=3．

当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1．

当n=1时上式也成立，

∴bn=2n+1（n∈N*）．

所以an=n+3，bn=2n+1．

（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，

由于f（n）=∴当k为正奇数时，k+27为正偶数

由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3）．∴2k=43，k=．（舍）

当k为正偶数时，k+27为正奇数，

由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1）．即7k=26，∴k=．（舍）

因此，符合条件的正整数k不存在

（3）将不等式变形并把an+1=n+4代入得a≤(1+)(1+)(1+)…(1+）．

设g（n）=(1+)(1+)…(1+）．∴=(1+)=×=．

又∵＜=2n+4，∴＞1，即g（n+1）＞g（n）．∴g（n）随n的增大而增大，故g（n）min=g（1）=(1+)=．∴0＜a≤．

（Ⅰ）∵f（x）=，∴an+1=，∴-=1

∴数列{}是首项=1，公差d=1的等差数列，=1+（n-1）=n

∴an=．

（Ⅱ）由已知得k≤

设cn=

则=＞1，所以数列{cn}递增，

∴cn的最小值为c1=，

∴只需0＜k≤

（1）证明：∵点An（an，an+1）在函数y=的图象上，∴an+1=，

两边取倒数得=+1，得到-=1，

∴数列{}是首项为=1，公差为1的等差数列，

∴=1+(n-1)×1=n，∴an=．

（2）∵bn===，∴bn+1=，

∴bn+1-bn=-=＞0，即数列{bn}是递增数列，其最小值为b1=．

∵bn＞m2-2m+对n∈N*恒成立，∴[bn]min＞m2-2m+，

即＞m2-2m+，化为m2-3m＜0，解得0＜m＜3．

∴实数m的取值范围是（0，3）．

（1）∵x1，x5是方程log22x-8log2x+12=0的两根，

∴log2x1+log2x5=8，log2x1•log2x5=12，

∵等差数列{yn}满足yn=log2xn，且其公差为负数，

∴log2x1=6，log2x5=2．

y1=log2x1=6，y5=log2x5=2，yn=7-n．

（2）∵yn=log2xn=7-n，yn+1=log2xn+1=6-n

∴==，

∴数列{xn}为等比数列．

（3）Sn==128(1-)＜128Sn=128，

故所求a的取值范围为a≥128．

（1）令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），

由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a1=f（0）=1．

当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．

设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜1，f（x2）-f（x1）=f（x1+（x2-x1））-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0．

即f（x2）＜f（x1），所以y=f（x）是R上的减函数．

（2）由f(an+1)=得f（an+1）f（-2-an）=1，

所以f（an+1-an-2）=f（0）．

因为y=f（x）是R上的减函数，所以an+1-an-2=0，

即an+1-an=2，

所以{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．

所以an=1+（n-1）×2=2n-1．

（3）由(1+)(1+)(1+)≥k对一切n∈N*均成立．

知k≤对一切n∈N*均成立．

设F(n)=，

知F（n）＞0且F(n+1)=，

又==＞1．

故F（n）为关于n的单调增函数，F(n)≥F(1)=．

所以k≤，k的最大值为