热门试卷

（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，有，…（2分）

解得a1=1，d=2，…（3分）

所以{an}的通项公式为an=2n-1（n∈N*）．…（4分）

（2）当n=1时，b1=T1=1-b1，所以b1=．…（1分）

由Tn=1-bn，得Tn+1=1-bn+1，两式相减，得bn+1=bn-bn+1，

故bn+1=bn，…（2分）

所以，{bn}是首项为，公比为的等比数列，所以bn=()n．…（3分）

==，…（4分）

要使是{bn}中的项，只要m+4=2n即可，可取m=4．…（6分）

（3）由（1）知，cn=，…（1分）

要使c1，c2，ck成等差数列，必须2c2=c1+ck，即=+，…（2分）

化简得k=3+．…（3分）

因为k与t都是正整数，所以t只能取2，3，5．…（4分）

当t=2时，k=7；当t=3时，k=5；当t=5时，k=4．…（5分）

综上可知，存在符合条件的正整数t和k，所有符合条件的有序整数对（t，k）为：（2，7），（3，5），（5，4）．…（6分）

（1）由已知，得an=f（apn+q）=logaapn+q=pn+q

当n≥2时，an-an-1=pn+q-p（n-1）-q=p=常数

所以，数列{an}是等差数

（2）由已知，得解得

所以，bk+2010=b1+（k+2010-1）d=0．

（1）证明：很显然，数列中的各项均不为0

当n≥2时，an-1-an-4 an-1 an=0，两边同除以an-1 an

得-=4，即-=4

对n＞1，n∈N*成立，

∴{}是以=5为首项，4为公差的等差数列．

（2）由（1）得=+（n-1）d=4n+1，

∴an=，

∴a1a2=×=．

设a1a2是数列{an}的第t项，

则=，

解得t=11∈N*．

∴a1a2是数列{an}的第11项．

根据题意，等差数列的首项为C5n11-2n-A11-3n2n-2，

则有，解可得≤n≤，

又由n∈N，则n=2，

从而有a1=100，

又由7777-15=（76+1）77-15=C7707677+C7717676+C7727675+…+C777676+1-15，

可得m=5，则数列的公差d=-4，

从而等差数列的通项公式是an=104-4n，

设其前k项之和最大，则，

解得k=25或k=26，

故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，S25=S26=1300．

（1）证明：∵bn+1-bn=-=-=-，

∴{bn}为公差d=1，首项b1==-的等差数列．

（2）由（1）知：bn==b1+(n-1)•d=n-，

∴an=1+．

（3）∵an=1+

∴n≥4时，数列{an}单调递减且an＞1；1≤an≤3时，数列{an}单调递减且an＜1，

∴数列{an}的最大项为a4=3；最小项为a3=-1．

（I）证明：∵a1=，公比q=，

∴an=•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，

∴log12an=n，

又bn+2=3log12an=3n，

∴bn=3n-2，b1=1，

∴bn+1=3（n+1）-2，

∴bn+1-bn=3，

∴{bn}是1为首项，3为公差的等差数列；

（II）由（Ⅰ）知bn=3n-2，an=(

1

2

)n，

∴cn=an•bn=（3n-2）•(

1

2

)n，

∴Sn=1×(

1

2

)1+4×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+（3n-2）×(

1

2

)n ①

Sn=1×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+7×(

1

2

)4+…+（3n-5）×(

1

2

)n+（3n-2）×(

1

2

)n+1②

故①-②得：Sn=1×+3×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+3×(

1

2

)n-（3n-2）×(

1

2

)n+1

∴Sn=+3×-（3n-2）×(

1

2

)n+1=2-，

∴Sn=4-．

（1）∵an-nan-1=0（n≥2），a1=1，

∴an=nan-1=n（n-1）an-2=n（n-1）（n-2）an-3=…

=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!

又a1=1=1!，∴an=n!

（2）证明：由bn=2bn-1-2n-1，两边同时除以2n得：

=-，即-=．

∴数列{}是以为首项，公差为-的等差数列，

则=+(n-1)(-)=1-，故bn=2n(1-)．

（3）因为===-，

bn-2n=2n(1-)-2n=-n•2n-1．

记An=+++…+

=(-)+(-)+(-)+…+(-)

=-．

记{bn-2n}的前n项和为Bn．

则Bn=-1•20-2•21-3•22-…-n•2n-1 ①

∴2Bn=-1•21-2•22-…-(n-1)•2n-1-n•2n ②

由②-①得：

Bn=20+21+22+…+2n-1-n•2n=-n•2n=(1-n)•2n-1．

∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=An+Bn=(1-n)•2n--．

所以数列{cn}的前n项和为(1-n)•2n--．

（Ⅰ）由题意可得：a1=S1=(a1+1)(a1+2)，解得a1=1或a1=2，

因为a1=S1＞1，所以a1=2．

（Ⅱ）由an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2)，

可得an+1-an-3=0或an+1+an=0，

因为数列{an}的各项均为正数，

所以an+1=-an不成立，故舍去．

所以an+1-an-3=0．

根据等差数列的定义可得：{an}是公差为3，首项为2的等差数列，

所以{an}的通项为an=3n-1．

（Ⅰ）∵a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，∵an＞0，∴q=2，∴an=2n-1

∴b3=a4=8．∵6Sn=bn2+3bn+2　①

当n≥2时，6Sn-1=bn-12+3bn-1+2 ②

①-②得6bn=bn2-bn-12+3bn-3bn-1即（bn+bn-1）（bn-bn-1）=3（bn+bn-1）

∵bn＞0∴bn-bn-1=3，∴{bn}是公差为3的等差数列．

当n=1时，6b1=b12+3b1+2，解得b1=1或b1=2，

当b1=1时，bn=3n-2，此时b3=7，与b3=8矛盾；当b1=3时bn=3n-1，此时此时b3=8=a4，∴bn=3n-1．

（Ⅱ）∵bn=3n-1，∴cn==，∴c1=2＞1，c2=＞1，c3=2＞1，c4=＞1，c5=＜1，

下面证明当n≥5时，cn＜1

事实上，当n≥5时，cn+1-cn=-=＜0

即cn+1＜cn，∵c5=＜1∴当n≥5时，Cn＜1，

故满足条件Cn＞1的所有n的值为1，2，3，4．

（Ⅲ）假设{an}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使ap，aq，ar构成等差数列，

∴2aq=ap+ar，即2•2q-1=2p-1+2r-1．∴2q-p+1=1+2r-p．

因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．

∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．