等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

数列{an}为等差数列．已知a2=1，a4=7．

（1）求通项公式an．

（2）求{an}的前10项和S10．

（3）若bn=2an，求{bn}的前n项和Tn．

正确答案

（1）设公差为d，根据题意得：，

解得：a1=-2，d=3，

所以an=3n-5；

（2）由（1）得：a1=-2，d=3，所以S10=10×(-2)+×3=115；

（3）把an代入得：bn=23n-5，

由=8，得数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列，

则Tn==．

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题型：简答题

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简答题

（Ⅰ）已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2，求通项公式an；

（Ⅱ）已知等比数列{an}中，a3=，S3=，求通项公式an．

正确答案

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-3，

故有an=．

（Ⅱ）令an=a1•qn，

∵a3=，S3=，

∴，

两式相除化简得2q2-q-1=0，

解得q=1，或q=-，

∴，an=，或，an=6•(-)n-1．

∴an=或an=6•(-)n-1．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项和Sn=n(n-1)，且an是bn与1的等差中项．

（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；

（2）若cn=(n≥2)，求c2+c3+c4+…+cn；

（3）若f(n)=(k∈N*)，是否存在n∈N*使得f（n+11）=2f（n），并说明理由．

正确答案

（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n-1）-（n-1）（n-2）=n-1，

把n=1代入验证，满足通项公式，

则an=n-1，又an是bn与1的等差中项，

则bn=2an-1=2（n-1）-1=2n-3；

（2）因为an=n-1，

所以cn==-(n≥2)，

则c2+c3+c4+…+cn=1-+-+-…+-=1-；

（3）不存在，理由为：

当n是奇数时，n+11为偶数，

此时f（n）=an=n-1，f（n+11）=bn+11=2n+19，

由f（n+11）=2f（n）知无解；

当n是偶数时，n+11为奇数，

此时f（n）=bn=2n-3，f（n+11）=an+11=n+10，

由f（n+11）=2f（n）知无解，

所以满足题意的n不存在．

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题型：简答题

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简答题

正项数列{an}中，前n项和为Sn，且a1=2，且an=2+2(n≥2)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=，Tn=b1+b2+…+bn，证明≤Tn＜7．

正确答案

（1）由an=2+2(n≥2)，得Sn-Sn-1=2+2(n≥2)，

∴Sn=Sn-1+2+2=(+)2，

∴=+，

∴{}是首项为公差为的等差数列，∴=n，∴Sn=2n2，

∴an=2+2=4n-2(n≥2)，对n=1也成立，

∴an=4n-2；

（2）证明：bn=，

Tn=+++…+，

Tn=+++…++，

两式相减，得Tn=+++…+-=-，

所以T n=7-，

∵n∈N•∴＞0∴Tn＜7，

下面证明Tn≥，

∵Tn+1-Tn=-=＞0，∴Tn+1＞Tn，∴{Tn}单调递增，

∴Tn≥T1=，

∴≤Tn＜7

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题型：简答题

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简答题

设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．

正确答案

设等差数列{an}项数为2n+1，

S奇=a1+a3+…+a2n+1==(n+1)an+1，

S偶=a2+a4+a6+…+a2n==nan+1，

∴==，解得n=3，

∴项数2n+1=7，

又因为S奇-S偶=an+1=a中，

所以a4=S奇-S偶=44-33=11，

所以中间项为11．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．正项数列{bn}满足bn2=anan+1（n∈N*）．若 {bn}是公比为的等比数列

（1）求{an}的通项公式；

（2）若a=，Sn为{an}的前n项和，记Tn=设Tn0为数列{Tn}的最大项，求n0．

正确答案

（1）===2，

又∵a1=1，a2=a（a＞0），

∴an=．

（2）若a=，则an=()n-1（n∈N*），则{an}为等比数列，公比为，

所以Sn==．

Tn==[()n+-17]≤(8-17)=9(+1)．

等号当且仅当()n=，即n=4时取到，

n0=4．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…

（1）写出c1，c2，c3，c4；

（2）求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；

（3）求数列{cn}的通项公式．

正确答案

（1）a1=3×1+6=9； a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15

b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13

∴c1=9；c2=11；c3=12；c4=13

（2）解对于an=3n+6，

当n为奇数时，设为n=2k+1

则3n+6=2（3k+1）+7∈{bn}

当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k-1+7不属于{bn}

∴在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；

（3）b3k-2=2（3k-2）+7=a2k-1

b3k-1=6k+5

a2k=6k+6

b3k=6k+7

∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7

∴当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4…

∴cn=

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N+，都有ban-2n=（b-1）Sn，bn=an-n•2n-1．其中Sn为数列{an}的前n项和．

（1）当b=2时，求{bn}的通项公式，进而求出{an}的通项公式；

（2）当b≠2时，求数列{an}的通项an以及前n项和Sn．

正确答案

由题意知a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1．

两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，

即an+1=ban+2n．①

（1）当b=2时，由①知an+1=2an+2n，

∴an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1)，

又a1-1×21-1=2-1=1≠0，

所以{an-n•2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．

可得，bn=2n-1，

由bn=an-n•2n-1，得an=(n+1)•2n-1．

（2）当b≠2时，由①得

an+1-•2n+1=ban+2n-•2n+1=ban-•2n=b(an-•2n)

若b=0，an=，Sn=2n；

若b=1，an=2n，Sn=2n+1-2；

若b≠0，1，数列{an-•2n}是以为首项，以b为公比的等比数列，

故an-•2n=•bn-1，

∴an=[2n+(2-2b)bn-1]，

∴Sn=(2+22+23+…+2n)+(1+b+b2+…+bn-1)

=×+×

=

当b=1时，Sn=2n+1-2也符合上式．

所以，当b≠0时，Sn=．

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简答题

已知正项数列{an}满足：-=1，（n∈N+，n≥2），且a1=4．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求证++…+＜1（n∈N+）

正确答案

（1）由题意可知数列{}是等差数列，首项是2，公差为1；

∴=2+(n-1)×1=n+1

∴an=（n+1）2

（2）证明：=＜=-

∴++…+＜1-+-+…+-=1-＜1

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n（n-1），n∈N*．

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn；

（III）求使不等式(1+)(1+)…(1+)≥p对一切n∈N*均成立的最大实数p的值．

正确答案

（I）证明：∵a1=1，Sn=nan-2n（n-1），

Sn+1=（n+1）an+1-2（n+1）n，

∴an+1=Sn+1-Sn=（n+1）an+1-nan-4n，

∴an+1-an=4，

∴数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，

∴an=1+（n-1）•4=4n-3．

（II）由（I）知：an=4n-3，

∴bn==，

∴Tn=+++…++，

两式相减，得：Tn=+4(+++…+）-

=+4×-

=+2--，

∴Tn=5-．

（III）∵(1+)(1+)…(1+)≥p对一切n∈N*均成立，

即p≤(1+)(1+)…(1+)对一切n∈N*均成立，

只需p≤[(1+)(1+)…(1+)]minmin，n∈N*，

令f(n)=(1+ )(1+)…(1+)，n≥2，且n∈N*，

则f(n-1)=(1+)(1+)…(1+)，n≥2，且n∈N*，

=(1+)=•=＞1，n≥2，且n∈N*，

∴f（n）＞f（n-1），n≥2，且n∈N*，

即f（n）在n∈N*上为增函数，

∴f(n) min=f(1)==，

∴p≤，

故实数p的最大值是．

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