- 万有引力与航天
- 共16469题
如图所示,两个天体构成双星,绕同一点做圆周运动,两星中心的距离为L,转动的周期为T,其中一颗星球质量为m,则另一颗星球质量为______.(已知万有引力常量为G.)
正确答案
解析
解:对m设其半径为r,另一物体质量为M,则:
对M:
由以上两式可得:M=
故答案为:
一宇航员抵达一半径为R的星球表面后,为了测定该星球的质量M,做如下实验,取一根细线穿过光滑的细直管,细线一端栓一质量为m的砝码,另一端连在一固定的测力计上,手握细直管抡动砝码,使它在竖直平面内做完整的圆周运动.停止抡动细直管,砝码可继续在同一竖直平面做完整的圆周运动.如图所示,观察测力计得到,当砝码运动到圆周的最低点时,测力计的读数为F1;当砝码运动到圆周的最高点时,测力计的读数为F2.已知引力常量为G,试根据题中提供的条件和测量结果,求:
(1)该星球表面的重力加速度;
(2)该星球的质量M;
(3)该星球的第一宇宙速度.
正确答案
(1)设砝码在最高点时细线的拉力为F1,速度为v1,则
F1+mg=m ①
设砝码在最低点细线的拉力为F2,速度为v2,则
F2-mg=m ②
由机械能守恒定律得
mg2r+mV12=
mV22 ③
由①、②、③解得
g= ④
(2)在星球表面,万有引力近似等于重力
G=m′g ⑤
由④、⑤解得
M=
(3)由mg=m,
得 V==
,
答:(1)该星球表面的重力加速度是 ;
(2)该星球的质量M是 ;
(3)该星球的第一宇宙速度是.
现根据对某一双星系统的光学测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是M,两者相距L,它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.万有引力常量为G.求:
(1)试计算该双星系统的运动周期T.
(2)若实验上观测到运动周期为T’,且Tn:T=1:(N>1),为了解释两者的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质--暗物质,作为一种简化的模型,我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质,而不考虑其他暗物质的影响,试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.
正确答案
(1)由万有引力提供向心力有:=M•
•
①
解得T=πL
(2)设暗物的密度为ρ,质量为m,则
m=ρ•π(
)3=πρ•
再由万有引力提供向心力有:+
=M•
•
②
由得:
=(
)2=
又m=πρ•代入上式解得:
ρ=
答:
(1)该双星系统的运动周期T=πL.
(2)该星系间这种暗物质的密度为ρ=.
伴随着神舟系列载人飞船的陆续升空,“嫦娥一号”探月成功发射,我国作为航天大国,其实力不断增强,万有引力与航天问题也成为百性关注的热点话题.若已知万有引力常量G,地球半径R,地球和月亮之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球运转的周期T1,地球的自转的周期T2,地球表面的重力加速度g.小霞同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法:她认为同步卫星绕地心作圆周运动,由于卫星距地面较高,则地球半径可忽略不计,然后进行估算,由G=mh(
)2可得M=
.
(1)请你判断一下小霞同学的计算方法和结果是否正确,并说明理由.如不正确,请给出正确的解法和结果.
(2)请根据已知条件能否探究出两种估算地球质量的方法并解得结果.
正确答案
解(1)小霞同学的计算方法和结果都是不正确的.因为地球半径R在计算过程中不能忽略.
正确的解法和结果为:
G=m(
)2(R+h)
解得:M=
(2)利用万有引力与圆周运动向心力和重力的关系有:
方法一:万有引力提供月球绕地作圆周运动的向心力,
因此有G=m(
)2r,
故有M=
方法二:在地球表面重力近似等于万有引力:
G=mg,
故有M=
答:(1)小霞同学的计算方法和结果都是不正确的.因为地球半径R在计算过程中不能忽略.正确的解法和结果如上所述.
(2)根据已知条件,还有两种估算地球质量的方法,其方法和结果如上所述.
一组航天员乘坐飞船前往位于离地球表面高度为h的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H.机组人员使飞船S进入与H相同的轨道并关闭火箭发动机,如图所示.M为地球质量,R为地球半径,g为重力加速度.
(1)在飞船内,一质量为70kg的航天员处于什么状态?他对座椅的压力为多少?
(2)计算飞船在轨道上的运行速率.
正确答案
(1)航天员处于完全失重状态,他对座椅的压力为0.
(2)飞船在轨道半径(R+h)上近似做匀速圆周运动,由万有引力和向心力公式得:
G=m
---------------①
在地球表面附近,重力等于万有引力mg=G---②
由①②式可得:v=
答:(1)航天员处于完全失重状态,他对座椅的压力压力为0.
(2)计算飞船在轨道上的运行速率为.
据报道,美国航空航天局在2008年发射“月球勘测轨道器(LRO)”,LRO在距月球表面h高度运行周期为T,已知月球的半径为R,请用已知量写出月球质量和表面重力加速度表达式。(引力常量为G)
正确答案
;
1976年10月,剑桥大学研究生贝尔偶然发现一个奇怪的射电源,它每隔1.337s发出一个脉冲信号。贝尔和她的导师曾认为他们和外星文明接上了头。后来大家认识到事情没有这么浪漫,这类天体被定名为“脉冲星”。“脉冲星”的特点是脉冲周期短,且周期高度稳定。这意味着脉冲星一定进行着准确的周期运动,自转就是一种很准确的周期运动。
(1)已知蟹状星云的中心星PS0531是一颗脉冲星,其周期为0.331s,PS0531的脉冲现象来自自转。设阻止该星离心瓦解的力是万有引力,估计PS0531的最小密度。
(2)如果PS0531的质量等于太阳质量,该星的可能半径最大是多少?(太阳质量是M=1030kg,计算结果均取2位有效数字)
正确答案
解:(1)脉冲星的脉冲周期即为自转周期,脉冲星高速自转但不瓦解的临界条件是:该星球表面的某块物质m所受星体的万有引力恰等于向心力
有
又
故脉冲星的最小密度为
(2)由
得脉冲星的最大半径为:
某课外小组经长期观测,发现靠近某行星周围有众多卫星,且相对均匀地分布于行星周围,假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动,通过天文观测,测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为R1,周期为T1,已知万有引力常为G.求:
(1)行星的质量;
(2)若行星的半径为R,行星的第一宇宙速度;
(3)通过天文观测,发现离行星很远处还有一颗卫星,其运动半径为R2,周期为T2,试估算靠近行星周围众多卫星的总质量.
正确答案
(1)根据万有引力提供向心力得:
G=m
解得行星质量为:M=
(2)由G=m
得第一宇宙速度为:v=
(3)因为行星周围的卫星分布均匀,研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体,
根据万有引力提供向心力得:G=m
所以行星和其他卫星的总质量M总=
所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为:△M=-
答:(1)行星的质量为;
(2)若行星的半径为R,行星的第一宇宙速度为;
(3)通过靠近行星周围众多卫星的总质量为-
.
质量为100kg的“勇气”号火星车于2004年成功登陆在火星表面.若“勇气”号在离火星表面12m时与降落伞自动脱离,此时“勇气”号的速度为4m/s.被气囊包裹的“勇气”号第一次下落到地面后又弹跳到18m高处,这样上下碰撞了若干次后,才静止在火星表面上.已知火星的半径为地球半径的0.5倍,质量为地球质量的0.1倍.若“勇气”号第一次碰撞火星地面时,气囊和地面的接触时间为0.7s.求(地球表面的重力加速度g=10m/s2,不考虑火星表面空气阻力)
(1)“勇气”号第一次碰撞火星地面前的速度v1;
(2)“勇气”号和气囊第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力F.
正确答案
(1)设火星表面的重力加速度为g',地球表面的重力加速度为g
由万有引力定律有:=mg
可得:=
=
故:g′=g=4m/s2
设探测器落地的速度为v1,则有:mv02+mg′h1=
mv12
代入数据,解得:v1=16m/s
(2)反弹后,机械能守恒,有mg′h2=mv22
解得v2=12m/s
设“勇气”号和气囊第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力为F,
由动量定理得:
(F-mg′)t=m[v2-(-v1)]
代入数据,解得:N=4400N
答:(1)“勇气”号第一次碰撞火星地面前的速度为16m/s;
(2)“勇气”号和气囊第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力为4400N.
已知地球质量M=5.97×1024千克,半径R=6400千米,万有引力恒量G=6.67×10-11N•m2/kg2,求在离地面1000千米的高空沿圆形轨道运行的人造卫星的速度和周期.(保留2位有效数字)
正确答案
根据万有引力提供向心力得
G=m
代入数据得v=7.3×103m/s
根据圆周运动知识得
T==6.4×103s
答:人造卫星的速度是7.3×103m/s,周期是6.4×103s.
(选做,适合选修3-4的同学)
我国登月的“嫦娥计划”已经启动,2007年10月24日,我国自行研制的探月卫星“嫦娥一号”探测器成功发射.相比较美国宇航员已经多次登陆月球.而言,中国航天还有很多艰难的路要走.若一位物理学家通过电视机观看宇航员登月球的情况,他发现在发射到月球上的一个仪器舱旁边悬挂着一个重物在那里摆动,悬挂重物的绳长跟宇航员的身高相仿,这位物理学家看了看自己的手表,测了一下时间,于是他估测出月球表面上的自由落体加速度.请探究一下,他是怎样估测的?
正确答案
根据单摆周期公式T=2π,只要测出单摆摆长和摆动周期,即可测出月球表面上的自由落体加速度.据宇航员的身高估测出摆长; 测出时间,数出摆动次数,算得摆动周期; 根据公式g=
求得月球的重力加速度.
答:据宇航员的身高估测出摆长; 测出时间,数出摆动次数,算得摆动周期; 据公式g=,求得月球的重力加速度.
如图中,有两颗人造地球卫星围绕地球运动,它们运行的轨道不可能是______.
正确答案
人造地球卫星靠万有引力提供向心力,做匀速圆周运动,万有引力的方向指向地心,所以圆周运动的圆心是地心.故①③可能,②不可能.
故答案为:②
曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度,曲率半径越小,说明曲线弯曲的程度越高;曲率半径相同,曲线弯曲程度相同.如图所示,发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运动,后让卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道2上运动,最后让卫星进入同步轨道3做圆周运动.已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,同步轨道的半径为r0,卫星的质量为m0.当质量为m的卫星离地心的距离为r时,其引力势能的表达式为Ep=-(式中M为地球质量),不计近地轨道距地面的高度.
(1)求卫星在近地轨道的线速度v1,和在同步轨道的线速度v3.
(2)卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理,圆周运动的半径可用近、远地点处的曲率半径ρ(未知)来表示,求卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率”:和远地点的速率v2′之比.
(3)需要给卫星提供多少能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上?
正确答案
(1)根据万有引力提供向心力,
对于近地卫星,由于卫星贴近地球表面,则
G=m
①
对于同步卫星,有
G=m
②
又对于物体在地球表面时,万有引力近似等于重力,则有
m′g=G ③
由①②③解得,v1=,v3=
(2)由题,卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理,则得
v1′=v1,r2′=v2,
所以v1′:v2′=:
=
:
(3)卫星在椭圆轨道2上近地点处,有 引力势能为Ep1=-,动能为Ek1=
m
=
m•(
)2=
mgR
轨道3上卫星的引力势能为 Ep2=-,动能为Ek2=
m
=
设需要给卫星提供能量为E时,能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上,根据能量守恒得:
E=(Ep2+Ek2)-(Ep1+Ek1)=(-+
)-(-
+
mgR)=-
+
+
-
mgR.
答:(1)卫星在近地轨道的线速度v1为,在同步轨道的线速度v3为
.
(2)卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率v1′和远地点的速率v2′之比为:
.
(3)需要给卫星提供-+
+
-
mgR的能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上.
已知某行星的半径为R,以其第一宇宙速度运行的卫星绕行星运行的周期为T,该行星的同步卫星的运行速度为v.
求:(1)该行星的同步卫星距行星表面的高度h.
(2)该行星的自转周期T'.
正确答案
(1)设同步卫星距地面高度为h,则:G=m
①
以第一宇宙速度运行的卫星其轨道半径就是R,则 G=m
R②
由①②得:h=-R
(2)行星自转周期等于同步卫星的运转周期
T′==
答:(1)同步卫星距行星表面的高度为=-R.
(2)该行星的自转周期为.
如图,质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线,A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期;
(2)在地月系统中,若忽略其它星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7. 35×1022kg,求T2与T1两者平方之比。(结果保留3位小数)
正确答案
解:(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R,相互作用的引力大小为f,运行周期为T。根据万有引力定律有
①
由匀速圆周运动的规律得
②
③
由题意有 ④
联立①②③④式得 ⑤
(2)在地月系统中,由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心,月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
⑥
式中,M'和m'分别是地球与月球的质量,L'是地心与月心之间的距离。若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动,则
⑦
式中,T2为月球绕地心运动的周期。由⑦式得
⑧
由⑥⑧式得
代入数据得
扫码查看完整答案与解析