- 万有引力与航天
- 共16469题
已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G．如图所示，A为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，B为地球的同步卫星．
（1）求卫星A运动的速度大小v；
（2）求卫星B到地面的高度h．
正确答案
（1）对卫星A，由牛顿第二定律和万有引力充当向心力可得出
解得：v=
（2）对卫星B，设它到地面高度为h，同理由万有引力充当向心力可得
G
解得：h=
答：（1）求卫星A运动的速度大小是
（2）求卫星B到地面的高度是
2012年6月16日，发射的“神舟九号”飞船与“天宫一号”成功对接，在发射时，“神舟九号”飞船首先要被发射到离地面很近的圆轨道，然后经过多次变轨后，最终与在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行的“天宫一号”完成对接，之后，整体保持在距地面高度仍为h的圆形轨道上绕地球继续运行．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g．求：
（1）地球的第一宇宙速度V1；
（2）对接后整体的运行速度V2．
正确答案
（1）．设地球第一宇宙速度为v，在近地轨道上运行的卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故有：
G
又因为在地面附近卫星受到的万有引力等于卫星的重力，即：
G
由①和②得 地球的第一宇宙速度为：v=
（2）根据题意可知，设飞船在近地圆轨道运行的速度为：v1=v=
神舟八号对接后，整体的运行速度为v2根据万有引力提供整体圆周运动的向心力得：
G
由②、③和④可得，对接后整体运动的速度：v2=
所以：v1：v2=
答：（1）地球的第一宇宙速度为
（2）神舟八号宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比
已知一颗人造卫星在某行星表面上空绕行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运动的弧长为s，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1rad，则卫星的环绕周期T为多少？该行星的质量是多少？（引力常量为G）
正确答案
（1）由圆周运动的规律得：T=2
得：T=2πt．
（2）卫星在行星表面上做圆周运动，
由万有引力提供向心力得：GM
而R=
解得：M=
答：卫星的环绕周期T为2πt，该行星的质量是
17世纪初，开普勒提出的行星运动定律指出了行星运动的规律后，人们迫切想了解这一规律的本质，之后很多的学者提出各种观点，最终由牛顿的万用引力定律揭开了天体运动的神秘面纱．牛顿首先从太阳对行星的引力出发，凭借其运动三定律猜测行星之所以围绕太阳运转是因为其受到了太阳的引力，并导出了引力公式．牛顿的思想进一步解放，指出这一引力与使月球围绕地球运动的力、使苹果落地的力应遵循相同的规律，并给出了著名的“月-地检验”，为万有引力定律的得出提供了强有力的依据．“月-地检验”的基本思路可设置为以下两个问题，已知地球半径为6400km，月地距离约为地球半径的60倍，请再结合下面给出的已知量计算：（结果均保留三位有效数字）
①已知月球的公转周期为27.3天，据此求月球的向心加速度？
②已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2，试据此求月球的向心加速度？
正确答案
①由题，月球的公转周期为T=27.3天=27.3×24×3600s≈2.36×106s，轨道半径r=60×6400×103=3.84×108m，则
月球的向心加速度为an=
供稿解得，an=0.00272m•s-2．
②，设地球的质量为M，物体的质量为m，物体与地球的距离为r，根据重力近似等于万有引力得
mg=G
设地球表面的重力加速度为g0，地球的半径为R，月球轨道处的重力加速度为g，则
得 g=
故月球的向心加速度为0.00272 m•s-2．
答：①已知月球的公转周期为27.3天，据此得到的月球的向心加速度为0.00272 m•s-2．
②已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2，据此求出月球的向心加速度为0.00272 m•s-2．
“嫦娥一号”成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要一步，已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，求：
（1）“嫦娥一号”的线速度大小；
（2）月球的质量；
（3）若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大．
正确答案
（1）“嫦娥一号”绕月飞行时 的线速度大小v=
（2）设月球质量为M，“嫦娥一号”的质量为m，根据牛顿第二定律得G
解得M=
（2）设绕月飞船运行的线速度为V，飞船质量为m0，则G
又M=
答：（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小为
（2）月球的质量为
（3）若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为=
土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心3.2×105km处受到土星的引力为0.38N．已知地球半径为6.4×103km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
正确答案
设地球质量为M，地球半径为r0，土星质量为M0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心r0′=3.2×105 km处的引力为G0′，根据万有引力定律有
G0=
G0′=
解得：
故土星质量大约是地球质量的95倍．
答：土星质量是地球质量的95倍．
（1）已知地球质量为M，引力常量为G，在地心-恒星坐标系中，地球自转周期为T．求同步卫星离地心的距离．
（2）已知地球半径为R，在地心-恒星坐标系中，地球自转周期为T，贴近地球运行的卫星的周期为T0．求同步卫星离地心的距离．
（3）已知地球半径为R，地面附近引力场强度约等于地面附近重力加速度g，在地心-恒星坐标系中地球自转周期为T．求同步卫星离地心的距离．
正确答案
地球对同步卫星的万有引力提供同步卫星绕地球做圆周运的向心力，
设同步卫星离地心的距离为r，同步卫星的质量为m，
同步卫星绕地球做运转运动的周期等于地球自转周期T；
（1）由牛顿第二定律得：G
（2）由牛顿第二定律得：
对同步卫星：G
对贴近地球运行的卫星：G
解得：r=
（3）由牛顿第二定律得：G
在地球表面的物体受到的重力等于地球对它的万有引力，
即：G
解得：r=
答：（1）同步卫星离地心的距离为
2007年10月24日，我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射。“嫦娥一号”卫星开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆轨道运动的卫星。设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T。已知月球半径为R，引力常量为G。求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）月球的密度
正确答案
解：（1）万有引力提供向心力
求出
（2）月球表面万有引力等于重力
求出
（3）根据
求出
如图示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．那么挖去部分与剩余部分的万有引力为______．
正确答案
根据m=ρ•
挖去部分的质量m=
挖去部分对小球的引力，F′=G
则挖去部分与剩余部分的万有引力大小为F″=F-F′=
故答案为：
2011年11月1日5时58分07秒，中国“长征二号F”遥八运载火箭在酒泉卫星发射中心载人航天发射场点火起飞，将“神舟八号”飞船发射升空．根据轨道计算结果，“神舟八号”飞船于6时7分53秒进入近地点约200千米，远地点329千米，轨道倾角为42度，周期5379秒的初始轨道，随后在地面测控通信系统的导引下，神舟八号飞船经五次变轨，从初始轨道转移到330千米的近圆轨道．现假设长征二号运载火箭托举着神舟八号飞船送入近地点为A、远地点为B的初始椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，如图所示．以后变轨到近园轨道上运行，若飞船在近圆轨道上飞行n圈所用时间为t．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．飞船的质量为m0．求：
（1）飞船在A点的加速度大小a．
（2）飞船在远地点B距地面的高度h2．
（3）假设飞船在初始椭圆轨道A点的速度为VA，变轨后进入近园轨道运行，这个过程合外力对飞船做的功．
正确答案
（1）设地球质量为M．
飞船在A点：G
对地面上质量为m的物体：G
解得：a=
（2）飞船在近圆轨道上飞行的周期：T=
近圆轨道半径为r=h2+R，
则有：G
解出：h2=
（3）设飞船在近圆轨道上运动的速度为VB，
G
m0VB2
R+h2
由动能定理可得：外力对飞船做的功W：
W=
答：（1）飞船在A点的加速度大小a为
（2）飞船在远地点B距地面的高度h2为
（3）假设飞船在初始椭圆轨道A点的速度为VA，变轨后进入近园轨道运行，这个过程合外力对飞船做的功为
一行星探测器从所探测的行星表面垂直升空．假设探测器的质量为1500kg，发动机推力为恒力，探测器升空途中某时刻发动机突然关闭．如图所示是探测器的速度随时间变化的全过程图示．假设行星表面没有空气．则：
（1）探测器在行星表面达到的最大高度是______m．
（2）该行星表面的重力加速度是______m/s2．
（3）计算发动机的推动力是______N．
正确答案
（1）24s末达到最高点，由于图线与坐标轴包围的面积，故H=
即探测器在该行星表面达到的最大高度为800m．
（2）发动机关闭后，探测器减速上升的过程中，只受重力，故加速度即为重力加速度，则该星球表面重力加速度大小为a=
（3）火箭加速过程，加速度大小为a1=
F-mg=ma1
解得 F=m（g+a1）=16666.7N
故答案为：（1）800；（2）4；（3）16666.7
已知某星球的半径为R，有一距星球表面高度h=R处的卫星，绕该星球做匀速圆周运动，测得其周期T=2π
（1）该星球表面的重力加速度g
（2）若在该星球表面有一如图所示的装置，其中AB部分为一长为12.8m并以5m/s速度顺时针匀速转动的传送带，BCD部分为一半径为1.6m竖直放置的光滑半圆形轨道，直径BD恰好竖直，并与传送带相切于B点．现将一质量为0.1kg的可视为质点的小滑块无初速地放在传送带的左端A点上，已知滑块与传送带间的动摩擦因数为0.5．
试求出到达D点时对轨道的压力大小；（提示：
正确答案
（1）对距星球表面h=R处的卫星（设其质量为m），
有：G
对在星球表面的物体m′，有：G
解得：g=1.6m/s2
（2）设滑块从A到B一直被加速，且设到达B点时的速度为VB
则：VB=
因VB＜5m/s，故滑块一直被加速
设滑块能到达D点，且设到达D点时的速度为VD
则在B到D的过程中，由动能定理：-mg•2R=
解得：VD=
而滑块能到达D点的临界速度：V0=
即滑块能到达D点
在D点时由重力和轨道的压力共同提供向心力：
N+mg=m
解得：
N=0.48N
由牛顿第三定律知，物体对轨道的压力为0.48N
答：
（1）星球表面的重力加速度为1.6m/s2
（2）在D点对轨道的压力为0.48N
已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T、轨道半径为r，地球表面的重力加速度g，试求出地球的密度．（引力常量G为已知量）
正确答案
根据G
根据GM=gR2得，R=
则地球的密度ρ=
答：地球的密度为
在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为V0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力．火星可视为半径为r0的均匀球体，其质量为M（万有引力常量为G）．
正确答案
以g′示火星表面附近的重力加速度，m′表示火星表面处某一物体的质量，
由万有引力定律等于重力，有
G
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为vy，水平分量仍为v0，有
vy2=2g′h ②
v=
由以上各式解得v=
答：着陆器第二次落到火星表面时速度的大小为
2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运行周期为15.2年．
（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍（结果保留一位有效数字）；
（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚．由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G
正确答案
（1）S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则G
ω=
设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，研究地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力则
G
综合上述三式得
r
rE
)3(
TE
T
)2
式中 TE=1年，rE=1天文单位，
代入数据可得
（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的势能为零．“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有
依题意可知R=RA，M=MA
可得RA＜
代入数据得RA＜1.2×1010 m
所以：
答：（1）人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的4×106倍，
（2）在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之比应小于17．
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