- 万有引力与航天
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我国航天的下一个目标是登上月球．飞船在月球着陆前要先在靠近月球表面的圆形轨道上绕行几圈．已知万有引力常量为G，宇航员计划在绕行时及着陆后各做了一次测量，并依据测量数据求月球的半径R和月球的质量M．飞船上备有以下实验仪器：
A．计时表一块
B．弹簧秤一支
C．质量为m的物体一个（可悬挂）
D．天平一架（附砝码一盒）
（1）两次测量需选用的仪器是______．（用字母表示）
（2）两次测量需测量的物理量是______．
（3）根据测量的物理量和已知量可知月球的半径R=______；月球的质量M=______．（用测量量的字母表示）．
正确答案
（1）重力等于万有引力
mg=G
万有引力等于向心力
G
由以上两式解得
R=
M=
由牛顿第二定律
FG=mg------③
因而需要用计时表测量周期T，用天平测量质量，用弹簧秤测量重力；
故选ABC．
（2）由第一问讨论可知，需要用计时表测量周期T，用天平测量质量，用弹簧秤测量重力；
故答案为：飞船绕月球表面运行的周期T，质量为m的物体在月球上所受的重力FG ．
（3）由①②③三式可解得
R=
M=
故答案为：
若把“神舟”六号载人飞船绕地飞行的运行看作是在同一轨道上的匀速圆周运动，且已知运行的周期为T，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，用T、g、R能求出哪些与“神舟”六号载人飞船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式（不必代入数据计算）．
正确答案
设地球之旅M，飞船质量为m，飞船轨道半径为r，
地球表面上质量为m′的物体所受重力等于地球对它的万有引力，
则m′g=
则GM=gR2，
万有引力为飞船做圆周运动提供向心力，
由牛顿第二定律得：
解得，得飞船轨道半径r=
飞船的角速度ω=
飞船的频率f=
飞船的线速度v=
向心加速度a=
离地面的高度h=
答：所求物理量如上所述．
假若几年后中国人乘宇宙飞船探索月球并完成如下实验：①当飞船停留在距月球一定的距离时，正对着月球发出一个激光脉冲，经过时间t后收到反射回来的信号，并测得此刻月球对观察者眼睛的视角为θ；②当飞船在月球表面着陆后，科研人员在距月球表面h处以初速度v0水平抛出一个小球，并测出落点到抛出点的水平距离为s．已知万有引力常量为G，光速为c，月球的自转影响以及大气对物体的阻力均不计．试根据以上信息，求：
（1）月球的半径R；
（2）月球的质量M．
正确答案
（1）设飞船离月球表面的距离为d，由题意得
2d=ct
根据图示示意图，由几何知识得 R=(d+R)sin
解得：R=
（2）设月球表面的重力加速度为g月，则
mg月=
得 g月=
小球做平抛运动，则有
h=
s=v0t
联立解得：M=
答：
（1）月球的半径R为
（2）月球的质量M为
已知地球半径为R，质量为M，自转周期为T．一个质量为m的物体放在赤道处的海平面上，则物体受到的万有引力F=______，重力G=______．
正确答案
根据万有引力定律的计算公式，得：F万=
故答案为：
太阳的质量为M，一个绕它做匀速圆周运动的行星的轨道半径为r，周期是T，试用两种方法求出行星在轨道上的向心加速度。
正确答案
T=GM/r4 或 T=4
如图所示，离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R远处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F1；当从M中挖去一半径为r=
正确答案
质点与大球球心相距2R，其万有引力为F1，则F1=G
大球质量M=ρ×
即M′=
小球球心与质点间相距
F1′=G
则剩余部分对质点m的万有引力为：
F2=F1-F1′=
故 
答：F1与F2之比是9：7．
如图所示，火箭栽着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器．火箭从地面起飞时，以加速度
（1）到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的
（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T0，试问：该行星的平均密度为多少？（假定行星为球体，且已知万有引力恒量为G）
正确答案
（1）火箭刚起飞时，以测试仪为研究对象，受地球引力mg0、平台的支持力N1，有：
N1-mg0=ma=m×
N1=
根据牛顿第三定律，起飞时测试仪器对平台的压力大小为N′=
设火箭离地高为h时，平台对测试仪器的支持力为N2，则有：N2-
在地面附近，有：G
则：N2=(
R
R+h
)2mg0+
于是得到：h=
（2）设行星质量为M，行星平均密度为ρ，
又有：M=
得：ρ=
答（1）到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的
（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T0，则该行星的平均密度为
一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F随时间t的变化规律如图乙所示．F1、F2已知，引力常量为G，忽略各种阻力．求：
（1）星球表面的重力加速度
（2）星球的密度．
正确答案
（1）由乙图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F2，在最低点拉力为F1．
设最高点速度为v2，最低点速度为v1，绳长为l．
在最高点：F2+mg=
在最低点：F1-mg=
由机械能守恒定律得：
由①②③解得：g=
（2）在星球表面：
星球密度：ρ=
由⑤⑥解得：ρ=
答：（1）星球表面的重力加速度为：
（2）星球的密度为
假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略．已知稳定的四星系统存在两种基本构成形式，一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，顶点上的三颗星沿外接于等边三角形的圆形轨道运行；另一种形式是四颗星位于正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道运行．设所有星体的质量均相等，等边三角形边长和正方形边长相等，试求出这两种情况下四星系统的运动周期T1和T2之比．
正确答案
对于第一种形式：
其轨道半径为r1=
由万有引力定律和向心力公式得：
解得：T1=2πa 
对于第二种形式：星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径半径r2=
由万有引力定律和向心力公式得：
解得：T2=2πa
由①②解得：
答：这两种情况下四星系统的运动周期之比
由于行星绕自身的轴旋转，同样质量的物体，在行星赤道上测得的重力比在行星两极测得和重力小，设行星是半径为R的球体，已知行星绕其轴旋转有周期为T，行星的平均密度为ρ，则在行星两极高度h为多少时物体的重力与赤道上物体的重力相同？
正确答案
设物体的质量为m，在赤道上所受的重力：
G1=
在两极高为h处所受的重力：G2=
行星的质量：M=ρ•
由①②③式解得：h=R（T
答：行星两极高度h为R（T
一物体在地球表面的重力为16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中用弹簧秤称得重力为9N，则：（地球表面取g=10m/s2）
①求火箭所在处重力加速度的大小？
②此时火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍？
正确答案
①在地面上物体受到的重力mg=16N，物体质量m=1.6kg；
对物体由牛顿第二定律得：F-mg′=ma，解得g′=0.625m/s2；
②在地球表面mg=G
火箭距地面的高度h=r-R=3R；
答：①求火箭所在处重力加速度的大小为0.625m/s2．
②此时火箭离地球表面的距离为地球半径的3倍．
飞天同学是一位航天科技爱好者，当他从新闻中得知，中国航天科技集团公司将在2010年底为青少年发射第一颗科学实验卫星--“希望一号”卫星（代号XW-1）时，他立刻从网上搜索有关“希望一号”卫星的信息，其中一份资料中给出该卫星运行周期10.9min．他根据所学知识计算出绕地卫星的周期不可能小于83min，从而断定此数据有误．
已知地球的半径R=6.4×106m，地球表面的重力加速度g=10m/s2．请你通过计算说明为什么发射一颗周期小于83min的绕地球运行的人造地球卫星是不可能的．
正确答案
设地球质量为M，航天器质量为m，航天器绕地球运行的轨道半径为r、周期为T，
根据万有引力定律和牛顿运动定律有
解得T=2π
由上式可知，轨道半径越小，周期越小．因此，卫星贴地飞行（r=R）的周期最小，设为Tmin，
则Tmin=2π
质量为m的物体在地球表面上所受重力近似等于万有引力，即
因此有 GM=gR2
联立解得：Tmin=2π
因绕地球运行的人造地球卫星最小周期为83.7min，所以发射一颗周期为83min的绕地球运行的人造地球卫星是不可能的．
万有引力常量G=6.67×10-11______，由万有引力定律可知，两个质量分别为50kg的人，相距2m时的万有引力为______．
正确答案
国际单位制中质量m、距离r、力F的单位分别是：kg、m、N，
根据牛顿的万有引力定律F=
两个质量分别为50kg的人，相距2m时的万有引力F=
故答案为：N•m2/kg2，1.67×10-7N
某一行星有一质量为m的卫星，以半径r，周期T做匀速圆周运动，求：
（1）行星的质量；
（2）卫星的加速度；
（3）若测得行星的半径恰好是卫星运行半径的
正确答案
（1）设行星的质量为M，由行星对卫星的万有引力提供向心力得
G
解之得
M=
（2）由①式得到卫星的加速度
a=
（3）设行星表面的重力加速度为g，行星半径为R，则行星表面物体的重力等于行星对物体的万有引力，即
G
由题意
R=0.1r
由以上得
g=
两个靠得很近的天体，离其它天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示．已知双星的质量为m1和m2，它们之间的距离为L．求双星运行轨道半径r1和r2，以及运行的周期T．
正确答案
如图，
设双星中质量为m1的天体轨道半径为r1，质量为m1的天体轨道半径为r2
据万有引力定律和牛顿第二定律，得：
G
G
r1+r2=L③
由①②③联立解得：
r1=
r2=
再由：G
运行的周期T=2πL
答：双星运行轨道半径分别为：r1=
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