- 导数在研究函数中的应用
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设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f′（x）＞0，且
正确答案
解析
解：∵当x＜0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上为增函数，
∵
∴不等式f（x）＜0的解集为
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（
∴不等式f（x）＜0的解集为
综上不等式f（x）＜0的解集为
故答案为：
已知函数f（x）=x3+x
Am≤
Bm≥
Cm≤1
Dm≥1
正确答案
解析
解：f′（x）=3
∴f（x）在R上是增函数；
由原不等式得f（4x-m•2x+1）≥f（4-x-m•2-x+1）；
∴4x-m•2x+1≥4-x-m•2-x+1；
∴4x-4-x≥m（2x+1-2-x+1），
①x=0时对任意m∈R上面不等式都成立；
②x≠0时上面不等式变成m
2x+2-x≥2，∴
∴m≤1；
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．
故选：C．
函数f（x）=x3-ax2+x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（-∞，2]
解析
解：f′（x）=3x2-2ax+1，
若函数f（x）=x3-ax2+x在区间（1，2）上单调递增，
则f′（x）≥0在（1，2）恒成立，
即3x2-2ax+1≥0在（1，2）恒成立，
∴a≤
令g（x）=
∴g（x）在（1，2）递增，而g（1）=2，
∴a≤2，
故答案为：（-∞，2]．
设F（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（2）=0，则不等式F（x）＜0的解集是（ ）
正确答案
解析
解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
即[f（x）g（x）]‘＞0
故F（x）在x＜0时递增，
又∵F（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，
∴F（x）的图象关于原点对称，
所以F（x）在x＞0时也是增函数．
∵f（2）g（2）=0，
∴f（-2）g（-2）=0．
即F（-2）=0且F（2）=0
所以F（x）＞0的解集为：x＜-2或0＜x＜2．
故选D．
已知函数f（x）=lnx-
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：
正确答案
（Ⅰ）解：f′（x）=
因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，
所以f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立．
当x∈（0，+∞）时，由x2+（2-2a）x+1≥0，
得2a-2≤x+
设g（x）=x+
当且仅当x=
所以2a-2≤2，所以a≤2，
所以a的取值范围是（-∞，2]．
（Ⅱ）证明：要证：
∵m＞n＞0，∴ln
即证ln
设h（x）=lnx-
由（Ⅰ）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又
所以h（
所以
解析
（Ⅰ）解：f′（x）=
因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，
所以f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立．
当x∈（0，+∞）时，由x2+（2-2a）x+1≥0，
得2a-2≤x+
设g（x）=x+
当且仅当x=
所以2a-2≤2，所以a≤2，
所以a的取值范围是（-∞，2]．
（Ⅱ）证明：要证：
∵m＞n＞0，∴ln
即证ln
设h（x）=lnx-
由（Ⅰ）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又
所以h（
所以
若函数f（x）=x2+ax在x∈[1，3]是单调递减函数，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（-∞，-6]
解析
解：函数f（x）=x2+ax的对称轴为
∵函数f（x）=x2+ax在x∈[1，3]是单调递减函数
∴
解得a≤-6
所以实数a的取值范围是（-∞，-6]
正确答案
解析
解：根据导数的图象，可知
当x＞0时，f‘（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，在区间（-∞，0）上是减函数
∵△ABC为锐角三角形，
∴A、B都是锐角，且A+B＞
由此可得0＜
因为正弦函数在锐角范围是增函数，所以对上式的两边取正弦得sin（
∴sinA＞cosB，再结合f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，得f（sinA）＞f（cosB）
故选A
函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且（x-1）f′（x）＜0，若a=f（0），b=f（
正确答案
解析
解：由f（x）=f（2-x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，
根据题意又知x∈（-∞，1）时，f‘（x）＞0，此时f（x）为增函数，
x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，
所以f（3）=f（-1）＜f（0）＜f（ 
故选C．
已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=2，且f（x）在R上的导数f′（x）＜1，则不等式f（2x）＜2x+1的解集为______．
正确答案
解析
解∵f（1）=2
∴f（1）-1=1
∵f‘（x）＜1
∴（f（x）-x）′＜0，令g（x）=f（x）-x，则g（x）为R上的减函数
∵不等式f（2x）＜2x+1⇔f（2x）-2x＜1⇔f（2x）-2x＜f（1）-1⇔g（2x）＜g（1）⇔2x＞1⇔x＞
故答案为 x＞
函数y=xlnx的单调递减区间是（ ）
正确答案
解析
解：函数y=xlnx的导数为 y′=（x）′lnx+x•（lnx）′=lnx+1，
由 lnx+1＜0 得，0＜x＜
故选 C．
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