热门试卷

解：（1）a=2时，f（x）=x2-2lnx，x＞0，

∴f′（x）=，

令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1（舍），

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1，

（2）∵f′（x）=，x＞0，

①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，

②a＞0时，

令f′（x）＞0，解得：x＞，x＜-（舍），

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；

综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增

a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；

（3）由题意得：方程a=在区间[，e]上有且只有一个解，

令g（x）=，则g′（x）=，

令g′（x）=0，解得：x=，

∴g（x）在（，）上递减，在（，e）递增，

又g（）=＜g（e）=e2，

∴方程a=在区间[，e]上有且只有一个解时，

有＜a≤e2，或a=2e，

∴实数a的取值范围时：{a|＜a≤e2或a=2e}．

解：（Ⅰ）f′（x）=（a+ex=（ax2+bx-b）…1分

当a=2，b=1时，f′（x）=（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）…2分

令f′（x）=0，得x=或x=-1（舍去）…3分

因为，所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，

f（x）是减函数…4分

当x∈（时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．

所以函数f（x）的单调递减区间为（0，）；

单调递增区间为（）…5分

（Ⅱ）令g（x）=ax2+bx-b．

因为a＞0，b＞0，所以二次函数g（x）的图象开口向上，

对称轴x=-，且g（1）=a＞0，…7分

所以g（x）＞0对一切x∈[1，2]恒成立，

又因为＞0，所以f′（x）＞0对一切x∈[1，2]恒成立，…8分

所以f（x）在x∈[1，2]上为增函数，

故f（x）min=f（1）=（a+b）e…10分

（Ⅲ）若a=1，b=-2时，不等式f（x）≤lnx•ex恒成立，

化简得：（1-ex≤lnx•ex，即lnx≥1-恒成立，…11分

令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-，

∴ln（1×2）＞1-，ln（2×3）＞1-，ln（3×4）＞1-，…，

ln[n（n+1）]＞1-，…12分

叠加得ln[1×22×32×…×n2（n+1）]＞n-2[+]

=n-2（1-）＞n-2．

则1×22×32×…×n2（n+1）＞en-2，

所以[（n+1）!]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）…14分

（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），

当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在定义域内单调递增；

当a＜0时，令f′（x）=0，解得，（舍负）

则时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

综上，a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；

a＜0时，f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递增区间为．

（Ⅱ）证明：

=，

∵，

∴x2-x1=λ（u-x1），∴，

又，∴，

∴，

∵a＜0，x2＞x1，1≤λ≤2，

∴，

要证：f′（u）＜k．，只需证，

即证：，

设，令，

则，

令h（t）=-t2+（λ2-2λ+2）t-（λ-1）2，

t＞1，1≤λ≤2，对称轴，

h（t）＜h（1）=0，∴g′（t）＜0，故g（t）在（1，+∞）内单调递减，

则g（t）＜g（1）=0，故f′（u）＜k．