热门试卷

解：（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x=120，即．

所以．

因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤120．

故y与x的函数关系是．

（2）设，

则．

由f'（x）＞0，得x3＞216，又0＜x≤120，则6＜x≤120．

所以f（x）在区间（6，120]内为增函数，在区间[0，6）内为减函数．

所以当x=6时，f（x）取最小值，

此时．

故需要修建19个增压站才能使y最小．

（1）对f（x）求导，得f′（x）=2f′（1）ex-1-1．

令x=1，得f′（1）=2f′（1）-1，解得f′（1）=1．

从而f（x）=2ex-1-x．

f′（x）=2ex-1-1．

f′（x）＞0⇔2ex-1-1＞0⇔x-1＞ln⇔x＞1-ln2；

f′（x）＜0⇔2ex-1-1＜0⇔x＜1-ln2．

所以，f（x）的增区间为（1-ln2，+∞），减区间为（-∞，1-ln2）．

（2）当x≥时，f(x)≥(a-)x+1⇔(2ex-1-x)≥(a-)x+1

⇔ex≥ax+1⇔a≤．

令g（x）=(x≥)，则g′(x)=．

令h（x）=(x-1)ex+1(x≥)，则h′（x）=xex＞0．

所以，函数h（x）在[，+∞）上单调递增．

所以h(x)≥h()=1-=＞0．

所以当x≥时，g′(x)=＞0．

所以，g（x）=在[，+∞）上单调递增.g(x)min=g()=2(-1)．

由题意，a≤2(-1)．

故所求实数a的取值范围是a≤2(-1)．

（1）∵f（x）-2x＞0的解集为（-1，3），

∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，

因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax2+2（1-a）x-3a①

由f（x）+7a=0得ax2+2（1-a）x+4a=0②

∵方程②有两个相等的根，

∴△=4（1-a）2-16a2=0，

即3a2+2a-1=0解得a=-1或a=

由于a＜0，a=（舍去），将a=-1代入①得f（x）的解析式f（x）=-x2+4x+3．

（2）g（x）=xf（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax，

∵g（x）在区间(-∞，)内单调递减，

∴g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a在(-∞，)上的函数值非正，

由于a＜0，对称轴x=＞0，

故g（x）≤g/()=+a(1-a)-3a≤0

注意到a＜0，∴a2+4（1-a）-9≥0，

得a≤-1或a≥5（舍去）

故所求a的取值范围是（-∞，-1]．

（I）f′（x）=f′（1）ex-1-f（0）+x，

令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）=1．

∴f(x)=f′(1)ex-1-x+x2．

令x=0，得f′（1）=e，

∴f(x)=ex-x+x2．

（II）设g（x）=f′（x）=ex-1+x，

则g′（x）=ex+1＞0，∴f′（x）在R上单调递增．

而f′（0）=0，∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．

因此f（x）在区间（-∞，0）上单调递减；在区间（0，+∞）单调递增．

（1）由函数的图象经过点（0，2）可知，b=2，…（2分）

又f'（x）=3x2+2ax-9，…（4分）

且f′（1）=0得a=3…（6分）

∴f（x）=x3+3x2-9x+2…（7分）

（2）f′（x）=3x2+6x-9=3（x2+2x-3）=3（x+3）（x-1）

令f′（x）＞0，则3（x+3）（x-1）＞0，解得x＜-3或x＞1…（9分）

令f′（x）＜0，则3（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1…（11分）

∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，-3）和（1，+∞）

函数y=f（x）的单调递减区间为（-3，1）…（12分）

（1）∵f（x）的图象关于原点对称，

∴f（-x）+f（x）=0恒成立，

即2bx2+2d=0，∴b=d=0

又f（x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，

即y-6=8（x-3），…（2分）

∴f'（3）=8，且f（3）=6．而f（x）=ax3+cx，

∴f'（x）=3ax2+c…（3分）

∴解得．

故所求的解析式为f(x)=x3-x．…（6分）

（2）解得x=0或x=±

又f'（x）=x2-1，由f'（x）=0得x=±1，

且当x=[-，-1)或x=(1，]时，f'（x）＞0；…（8分）

当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．

∴f(x)在[-，-1]和[1，]递增；在[-1，1]上递减…（9分）

∴f(x)在[-，]上的极大值和极小值分别为f(-1)=f(1)=-．

而-＜-＜＜．

故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为[-，]．…（12分）

（1）由f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）为奇函数，

∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0

∴f′（x）=3ax2+c，且f（x）在x=1取得极大值2．

∴⇒

解得a=-1，c=3，∴f（x）=-x3+3x

（2）∵g（x）=-x2+3+（k+1）lnx，

∴g′(x)=-2x+(k+1)=

因为函数定义域为（0，+∞），所以

①当k=-1时，g'（x）=-2x＜0，

函数在（0，+∞）上单调递减；

②当k＜-1时，k+1＜0，∵x＞0，

∴g′(x)=＜0．

∴函数在（0，+∞）上单调递减；

③k＞-1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得＞0，

∵x＞0，

∴-2x2+（k+1）＞0，得-＜x＜，

结合x＞0，得0＜x＜；

令g'（x）＜0，得＜0，同上得2x2＞（k+1），x＞，

∴k＞-1时，单调递增区间为（0，），

单调递减区间为（，+∞）

综上，当k≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；

当k＞-1时，函数的单调递增区间为（0，），

单调递减区间为（，+∞）

（Ⅰ）∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；∴x=0是f'（x）=0的根，又∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴f'（0）=0，∴c=0．又∵f（x）=0的根为α，2，β，∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f'（2）≤0，

∴12+4b≤0，∴b≤-3，又d=-8-4b

∴d≥4

（Ⅱ）∵f（1）=1+b+d，f（2）=0

∴d=-8-4b且b≤-3，

∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2

（Ⅲ）∵f（x）=0有三根α，2，β；

∴f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）

=x3-（α+β+2）•x2-2αβ

∴；（

∴|β-α|2=（α+β）2-4αβ

=（b+2）2+2d

=b2+4b+4-16-8b

=b2-4b-12

=（b-2）2-16

又∵b≤-3，∴|β-α|≥3

当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4

∴f（x）=x3-3x2+4

（1）方程7x-4y-12=0可化为y=x-3．

当x=2时，y=．又f′(x)=a+，

于是解得，故f(x)=x-．

（2）由f(x)=x-得：f′（x）=1+，当x≠0时，恒大于0，

∴函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是单调递增函数．