热门试卷

（－∞，1]

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，

(1)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．

(2)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，

又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，

即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是（－∞，1]．

(1) x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0.

（2）当或时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点；

当时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点；

当时，h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点.

(1) 方法一： ∵ x>1 , ，

当且仅当x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0；

方法二：∵ x>1，

当且仅当即x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0.

方法三：求导（略） ……………………………………4分

（2）由于h(x)=(1－x)f(x)+16=

设 F(x)=g(x)－h(x)=   (且)，则

，……………………………6分

令得x=3或x=1（舍）又∵， ，，F（3）＝6ln3－15+m

根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如下：………………11分

由此可得：

当或时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点；

当时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点；

当时，h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点.

（Ⅰ）解：对函数求导数：

于是，

当时，，在区间是减函数，

当时，，在区间是增函数，

所以时取得最小值，，

（II）用数学归纳法证明

(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立

(ⅱ)假设当n=k时命题成立　

即若正数满足，

则

当n=k+1时，若正数满足，

令

，，……，

则为正数，且，

由归纳假定知

　　　　　　　　　　　①

同理，由，可得

　　　②

综合①、②两式

即当n=k+1时命题也成立

根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立

略

解：（1）因为是函数的一个极值点，

所以，即，………2分

经检验，当时，是函数的一个极值点.   ………3分

（2）由题，在恒成立，                ………5分

即在恒成立，所以，             ………6分

又因为在恒成立上递减，所以当时，，    ………7分

所以.                                          ………8分

（3）由题，在上恒成立且等号必能取得，

即-----（*）在上恒成立且等号必能取得，………10分

当时，不等式（*）显然恒成立且取得了等号                    ………11分

当时，不等式（*）可化得，所以 ………12分

考察函数

令，则，所以，

因为函数在上递增，所以当时，          ………14分

所以，又因为，所以.                          ………16分

略

（Ⅰ）=5

（Ⅱ）<

（Ⅲ）的符号为正

本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查

数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。

（Ⅰ）因为=

所以=0，=5------------------------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知（）

===------------------------5分

当时，<0，单调递减；

当或时，>0，单调递增.

的极大值为==，

极小值为==，

又时，，时， -----------------7分

结合图像可知：当且仅当时

直线与函数的图象有3个交点

< ------------------------------------9分

（III）的符号为正. 证明如下：

因为=+（）++（6-+2

=有两个零点，则有

，

两式相减得

即，

于是

 -------------------------11分

①当时，令，则，且.

设，

则，

则在上为增函数．而，所以，

即. 又因为，所以. ------12分

②当时，同理可得：. --------------------------13分

综上所述：的符号为正------------------------------------14分

(Ⅰ) f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)  (Ⅱ)  见解析

（I）∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，

∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，

由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R).

（II）方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0，

设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h¢(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)，

当x∈(0，)时，h¢(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)是增函数，

∵h(3)＝1＞0，h()＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间(3，)、(，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在惟一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根.

（Ⅰ），无极大值;（Ⅱ）当时，单调递减 ，当时，单调递减，在上单调递增；（Ⅲ）．

试题分析：（Ⅰ）当时，求函数的极值,只需对函数求导,求出导数等零点,及在零点两边的单调性,注意, 求函数的极值不要忽略求函数的定义域;（Ⅱ）讨论函数的单调性,只需判断的导数在区间上的符号,因此,此题先求导,在判断符号时,发现参数的取值对有影响,需对参数讨论,分,与两种情况,从而确定单调区间;（Ⅲ）对任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，只需求出的最大值即可.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，当时， 令，当时，；当时，，单调递减，在单调递增，，无极大值 ；

（Ⅱ）

，，①当即时，上是减函数，②当，即时，令，得,令，得

综上，当时，单调递减 ，当时，单调递减，在上单调递增；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值，， ，

而经整理得 ．

解：（1）∵是直线上三点，且

∴      ………………………………. 1分

故      ………………………………. 2分

∴  ∴，   ……………………. 3分

故      ………………………………. 4分

（2）令

由      ………………………………. 6分                   

∵  ∴ ∴在上是增函数，

故，即      ………………………………. 8分

（3）原不等式等价于    …………………. 9分

令

为偶函数，当时，  ∴在上是减函数

∴当时，      ………………………………. 10分

∴ 对恒成立      ………………………………. 11分

令

则由及，解得或

所以的取值范围为      ………………………………. 12分

略

（Ⅰ） =0

（Ⅱ） 

（Ⅲ）       

（Ⅰ） =0

（Ⅱ）  

则        

|AB|＝2

又      

（Ⅲ） 时，求的最小值是-5