热门试卷

（I）的取值范围为.（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（I）函数在上为增函数，则导数在上恒成立，即 在上恒成立.这只需即可.（Ⅱ）注意用第（I）题的结果.由（I）可得， ，从而得恒成立，（当且仅当时，等号成立），由此得，即.如何将这个这个不等式与待证不等式联系起来？在中，令，得.

由此得，即.这样叠加即可得：.

试题解析：（I）函数的定义域为.            1分

在上恒成立，即在上恒成立，  2分

∵  ∴，∴的取值范围为               4分

（Ⅱ）由（I）当，时，，又，

∴（当时，等号成立），即          5分

又当时，设，   

则∴在上递减，

∴，即在恒成立，

∴时， ①恒成立，（当且仅当时，等号成立），  7分

∴当时，，由①得，即   ..②.

当时，，，在中，令，得 .. ③.

∴由②③得，当时，，即.      10分

∴，

，

，

.

∴.                       12分

（Ⅰ）当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值;

（Ⅱ）或

试题分析：（Ⅰ）观察与的特点，可得，，，即可得到函数，观察此函数特征可想到对其求导得，由二次函数的图象不难得出在上有解的条件，进而求出的范围; （Ⅱ）由可得，又由可得，故可令函数的最大值为正，对函数求导令其为0得求出，由与，和与的大小关系对进行分类讨论，并求出各自情况的最大值，由最大值大于零即可求出的范围．

试题解析：（Ⅰ）∵,

,

∴ ∴      (3分)

设是的两根，则，∴在定义域内至多有一解,

欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，∴得               (6分)

综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值．

（Ⅱ）∵存在，使成立等价于的最大值大于0，

∵，∴,

∴得.

当时，得；

当时，得          (12分)

当时，不成立                (13分)

当时，得；

当时，得；

综上得：或              (16分)

（I） （II） .

（III）实数的取值范围为.

试题分析：（I）由点处的切线方程与直线平行，得该切线斜率为2，即

又所以 4分

（II）由（I）知，显然当所以函数上单调递减.当时，所以函数上单调递增，

①

②时，函数上单调递增，

因此        7分

所以  10分

（III）对一切恒成立，又

即设

则由

单调递增，

单调递减，

单调递增，

所以

因为对一切恒成立，

故实数的取值范围为  14分 

点评：难题，本题（1）较为简单，主要利用“曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值”。本题（2）主要利用“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”，研究函数的单调区间。（3）作为不等式恒成立问题，通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），使问题得到解决。

（1）证明见解析

（2） .

(3)正整数的最大值为3.

（1）因为所以.

∴  , 则， ∴ 在内单调递增 .

解：（2） ∵，,∴由（1）可得在内单调递增，

即存在唯一根， ∴ .

(3) 由得且恒成立,由（2）知存在唯一实数,

使且当时， ，∴ ，当时，,∴ .

∴ 当时,取得最小值 .               

∵ , ∴ . 于是， ∵ ,

∴ ∴ ,故正整数的最大值为3.

（1） ；（2）2； （3）

试题分析：（1）因为曲线y＝f(x)与y=g(x)在x＝1处的切线相互平行，所以分别对这两个函数求导，可得导函数在x=1处的斜率相等，即可求出的值以及求出两条切线方程.再根据平行间的距离公式求出两切线的距离.

（2） 由f(x)≤g(x)－1对任意x>0恒成立，所以构造一个新的函数，在x>0时求出函数的最值符合条件即可得到的范围.

（3）根据（2）所得的结论当当<0时,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数，所以根据可以得到函数与变量的关系式，从而构造一个新的函数，得到的范围.

试题解析：（1）,依题意得: ="2;"

曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x－y－2=0,

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x－y－1=0.两直线间的距离为

（2）令h(x)=f(x)－g(x)+1, ,则

当≤0时, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减,又h(1)=0,故00,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾.

当>0时,

当,当时,

所以h(x)在上是增函数,在上是减函数,

∴h(x)≤

因为h(1)＝0,又当≠2时,≠1,与不符.所以＝2. 

（3）当<0时,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数,

不妨设01≤x2,则|h(x1)－h(x2)|＝h(x1)－h(x2),|x1－x2|＝x2－x1,

∴|h(x1)－h(x2)|≥|x1－x2|

等价于h(x1)－h(x2)≥x2－x1,即h(x1)＋x1≥h(x2)＋x2,令H(x)＝h(x)＋x＝lnx－x2＋x＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数,

∵ (x>0),∴－2x2＋x＋≤0在x>0时恒成立,∴≤(2x2－x)min又x>0时, (2x2－x)min=

∴a≤－,又a<0,∴a的取值范围是. 

（1）的极小值为，无极大值；

（2）①当时，在和上是减函数，在上是增函数；

②当时，在上是减函数；

③当时，在和上是减函数，在上是增函数

（3）.

试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.

试题解析：（1）当时，        1分

由,解得.                          2分

∴在上是减函数，在上是增函数.                           3分

∴的极小值为，无极大值.                               4分

（2）.   5分

①当时，在和上是减函数，在上是增函数；         6分

②当时，在上是减函数；                              8分

③当时，在和上是减函数，在上是增函数.        8分

（3）当时，由（2）可知在上是减函数，

∴.                        9分

由对任意的恒成立，

∴                              10分

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，                               11分

由于当时，，∴.                     12分

（1）的取值范围是或；（2）①当时，，即；

②当时，，即；③当时，，即；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题考查函数与导数、导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值与最值等数学知识和方法，考查综合运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，考查函数思想和分类讨论思想.第一问，先将代入得到解析式，因为仅有一个零点，所以和仅有一个交点，所以关键是的图像，对求导，令和判断函数的单调性，确定函数的极值和最值所在位置，求出具体的数值，便可以描绘出函数图像，来决定的位置；第二问，先将代入，得到解析式，作差法比较大小，得到新函数，判断的正负即可，通过对求导，可以看出在上是增函数且，所以分情况会出现3种大小关系；第三问，法一：利用第二问的结论，得到表达式，再利用不等式的性质得到所证表达式的右边，左边是利用对数的运算性质化简，得证；法二，用数学归纳法证明，先证明当时不等式成立，再假设当时不等式成立，然后利用假设的结论证明当时不等式成立即可.

试题解析：（1）当时，，定义域是，

，令，得或.

∵当或时，，当时，，

∴的极大值是，极小值是.

∵当时，，当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．    4分

（2）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．

①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．         8分

（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

．，

．                12分

(法二)当时，．

，，即时命题成立．

设当时，命题成立，即 ．

时，．

根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立.

（Ⅰ），；（Ⅱ）存在k=4，使得f（x）是[﹣1，4]上的4阶收缩函数．（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）根据f（x）=cosx的最大值为1，可得f1（x）、f2（x）的解析式．

（Ⅱ）根据函数f（x）=x2在x∈[-1，4]上的值域，先写出f1（x）、f2（x）的解析式，再由f2（x）-f1（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．

（3）先对函数f（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出f1（x）、f2（x）的解析式，

然后再由f2（x）-f1（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．

试题解析：

（Ⅰ）由题意可得：，2分

（Ⅱ），，

所以                             4分

当时，，∴，即；

当时，，∴，即；

当时，，∴，即．

综上所述，∴

即存在k=4，使得f（x）是[﹣1，4]上的4阶收缩函数．                     7分

（Ⅲ）令得或．函数f（x）的变化情况如下：

令f（x）=0，解得x=0或3．                                           

（ⅰ）b≤2时，f（x）在[0，b]上单调递增，因此，．

因为是[0，b]上的2阶收缩函数，所以，①对x∈[0，b]恒成立；②存在x∈[0，b]，使得成立．

①即：对x∈[0，b]恒成立，由，解得：0≤x≤1或x≥2，

要使对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．

②即：存在x∈[0，b]，使得成立．由得：x＜0或，所以．

综合①②可得：．                                    10分

（ⅱ）当b＞2时，显然有，由于f（x）在[0，2]上单调递增，根据定义可得：，，可得，

此时，不成立．                               12分

综合ⅰ）ⅱ）可得：的取值范围为．                       13分

（注：在（ⅱ）中只要取区间内的一个数来构造反例即可，这里用只是因为简单而已）

（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为，；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析

试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，由得出函数单调递减区间为，单调递增区间为，从而；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中时的单调性可知，即，构造函数，由导函数分析可得在上增，在上递减，则，由对任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，由于，从 而由放缩和裂项求和可得：

 .

试题解析：（I）当，

由， 得单调增区间为；

由，得单调减区间为 ，                       2分

由上可知                           4分

（II）若对恒成立，即，

由（I）知问题可转化为对恒成立 ．       6分

令 ，  ，

在上单调递增，在上单调递减，

∴．

即 ， ∴ ．                   8分

由图象与轴有唯一公共点,知所求的值为1．   9分

（III）证明：由（II）知，  则在上恒成立．

又，                      11分

                        12分

．14分