- 导数在研究函数中的应用
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已知函数f（x）和g（x）的定义域都是实数集R，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，g（-2）=0，则不等式f（x）g（x）＞0的解集是______．
正确答案
因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0
故f（x）g（x）在x＜0时递增，
又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，
∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在x＞0时也是增函数．
∵f（2）g（2）=0，∴f（-2）g（-2）=0
所以f（x）g（x）＞0的解集为：0＜x＜2或x＞2
故答案为（-2，0）∪（2，+∞）．
设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是______．
正确答案
令h（x）=f（x）g（x），则h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．
①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，
故函数h（x）在R上单调递增．
∵h（-3）=f（-3）g（-3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），∴x＜-3．
②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故答案为（-∞，-3）∪（0，3）．
已知函数f（x）=x3-ax2-x+6在（0，1）内单调递减，则a的取值范围为 ______．
正确答案
∵f′（x）=3x2-2ax-1
∵函数f（x）在（0，1）内单调递减
∴f′（x）=3x2-2ax-1≤0，在（0，1）内恒成立
即：a≥
令h（x）=3x-
∴h（x）＜2
∴a≥1
故答案为：[1，+∞）
函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-2，对任意的x＜0，有f'（x）＞2，则f（x）＞2x的解集为______．
正确答案
令g（x）=f（x）-2x，所以g（-1）=f（-1）+2=0，
对任意的x＜0，有f'（x）＞2，
g′（x）=f′（x）-2＞0，
所以对任意的x＜0，有g（x）是增函数，
f（x）＞2x的解集就是g（x）＞g（-1）的解集，x＜0时，解得-1＜x＜0，
因为函数是奇函数，
所以f（x）＞2x的解集为：（-1，0）∪（1，+∞）．
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．
已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）。
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）及f（x）的导数f′（x）；
（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围。
正确答案
解：（1）设y=ln（ex+a），a＞0，
则ey=ex+a，
∴ex=ey-a，a＞0，
∴x=ln（ey-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数
f-1（x）=ln（ex-a），x∈R；
f′（x）=
（2）由|m-f-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（ex-a）-ln（ex+a）+x＜m＜ln（ex-a）+ln（ex+a）-x
设φ（x）=ln（ex-a）-ln（ex+a）+x，ψ（x）=ln（ex-a）+ln（ex+a）-x，
于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于φ（x）＜m＜ψ（x）①
由
注意到
故有
从而φ（x）与ψ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增
因此不等式①成立当且仅当
即
f(x)=
正确答案
因为f(x)=
所以f（x）在该区间[-1，2]上单调，
则f'（x）=x2-2x+a≥0在[-1，2]上恒成立，
得a≥1
或在f'（x）=x2-2x+a≤0上恒成立，
得a≤-3．
故答案为：（-∞，-3]∪[1，+∞）．
已知f'（x），g'（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，
①若f（1）=1，则f（-1）=（ ）；
②设函数h（x）=f（x）-g（x），则h（-1），h（0），h（1）的大小关系为（ ）。（用 “＜”连接）
正确答案
1；h（0）＜h（1）＜h（-1）
设定义在（-1，1）上的奇函数f （x）的导函数f′（x）=5+cosx，且f （0）=0，则不等式f （x-1）+f （1-x2）＜0的
解集为______．
正确答案
∵函数的导函数f′（x）=5+cosx，恒正，∴函数是增函数，
又函数为定义在（-1，1）上的奇函数，则不等式f （x-1）+f （1-x2）＜0转化为f （x-1）＜f （x2-1），
∴
故答案为：（1，
（文）设f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，其导函数为f'（x）．当0＜x＜π时，
f'（x）•cosx-sinx•f（x）＞0，则不等式f（x）•cosx＞0的解集为______．
正确答案
设g（x）=f（x）cosx，
∵f（x）是定义在（-π，0）U（0，π）上的奇函数，
故g（-x）=f（-x）cos（-x）=-f（x）cosx=-g（x），
∴g（x）是定义在（-π，0）U（0，π）上的奇函数．
g'（x）=f'（x）cosx-sinxf（x）＞0，
∴g（x）在（0＜x＜π）递增，
于是奇函数g（x）在（-π，0）递增．
∵g(±
∴f（x）•cosx＞0的解集为
(-
故答案为：(-
给出下列四个函数：①y=x+sinx；②y=x2-cosx；③y=2x-2-x；④y=ex+lnx，其中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调的函数是______．（写出所有满足条件的函数的序号）
正确答案
考察四个函数，：①y=x+sinx与；③y=2x-2-x；这两个函数是奇函数，；②y=x2-cosx；是偶函数，；④y=ex+lnx的定义域不关于原点对称是非奇非偶函数
由此可排除②④
对于函数①，y′=1+cosx≥0故是单调函数，符合题意
对于函数；③y=2x-2-x，由于函数2x是增函数，函数2-x是减函数，故y=2x-2-x是增函数，
综上判断知，既是奇函数，又在区间（0，1）上单调的函数是①③
故答案为①③
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