热门试卷

函数F(x)=f(x)+g(x)=x++lnx的定义域为（0，+∞）．

∴F′(x)=1-+=．

①当△=1+4a≤0，即a≤-时，得x2+x-a≥0，则F′（x）≥0．

∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）

②当△=1+4a＞0，即a＞-时，令F′（x）=0，得x2+x-a=0，

解得x1=＜0，x2=．

（ⅰ） 若-＜a≤0，则x2=≤0．

∵x∈（0，+∞），

∴F′（x）＞0，

∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）

（ⅱ）若a＞0，则x∈(0，)时，F′（x）＜0；

x∈(，+∞)时，F′（x）＞0，

∴函数F（x）在区间(0，)上单调递减，

在区间(，+∞)上单调递增．

综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（6分）

当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为(0，)，

单调递增区间为(，+∞)．（8分）

（2）令h(x)=，则h′(x)=．

令h′（x）=0，得x=e．

当0＜x＜e时，h′（x）＞0；

 当x＞e时，h′（x）＜0．

∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，

在区间（e，+∞）上单调递减．

∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为h(e)=．（10分）

而函数m（x）=x2-2ex+a=（x-e）2+a-e2，

当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为m（e）=a-e2．（12分）

∴当a-e2=，即a=e2+时，

方程=f(x)-2e只有一个根．（14分）

（1）f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞）

f′(x)=+2x-10==

令f'（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）随x的变化情况如下：

f（x）的增区间是（-1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）．

（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．

∴f（x）极大=f（1）=16ln2-9，f（x）极小=f（3）=32ln2-21．

又x→-1+时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞；

可据此画出函数y=f（x）的草图（如图），由图可知，

当直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点时，

当且仅当f（3）＜b＜f（1），

故b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=2x-，

①若a≤0，f'（x）＞0横成立，此时函数f（x）单调递增，无极值．

②若a＞0，则由f′(x)=2x-=＞0，解得x＞，此时函数f（x）单调递增．

由f′(x)=＜0，解得0＜x＜，此时函数f（x）单调递减．

所以当x=时，函数f（x）取得极小值f()=a(1-ln⁡a+ln⁡2)．

综上，若a≤0，函数f（x）无极值．

若a＞0，函数f（x）取得极小值f()=a(1-ln⁡a+ln⁡2)．

（2）若函数f（x）在（1，2）上是增函数，则f′(x)=≥0恒成立，

即a≤2x2在（1，2）上恒成立，所以a≤2．

又g′(x)=1-，要使g（x）在（0，1）上为减函数，

则g′(x)=1-≤0在（0，1）上恒成立，

即a≥2在（0，1）上恒成立，所以a≥2．

综上a=2．

（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，设h（x）=f（x）-g（x）-2=x2-2lnx-x+2-2，

则h′(x)=2x--1+，由h′(x)=2x--1+＞0且x＞0，得(-1)(2x+2x++2)＞0，

解得x＞1，此时函数h（x）单调递增．

由h'（x）＜0，解的0＜x＜1．此时函数h（x）单调递减．

所以函数h（x）在x=1处取得极小值同时也是最小值h（0）=0，

当x＞0时，且x≠1时，h（x）＞0，所以h（x）=0在（0，+∞）上只有一个解，即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．

（1）f（x）-h（x）=0，等价于x2-2lnx=x2-x+a，即a=x-2lnx

令g（x）=x-2lnx，则g′(x)=1-=

∴x∈[1，2]时，g′（x）≤0，函数g（x）=x-2lnx在[1，2]内单调递减；x∈[2，3]时，g′（x）≥0，函数g（x）=x-2lnx在[2，3]内单调递增．

又因为g（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3

故2-2ln2＜a≤3-2ln3

（2）∵h（x）=x2-x+a在(0，)单调递减；(，+∞)单调递增

∴f（x）=x2-mlnx也应在(0，)单调递减；(，+∞)单调递增

∵f′(x)=2x-=，

∴当m≤0时，f（x）=x2-mlnx在（0，+∞）单调递增，不满足条件；当m＞0且=，即m=，函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间．

（1）∵f（x）=-x3+ax2+bx+c，

∴f'（x）=-3x2+2ax+b．

∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，

∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0．∴b=0．

（2）由（1）知，f（x）=-x3+ax2+c，

∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1-a．

∵f'（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0，x2=．

∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，

∴x2=＞1，即a＞．

∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7＞-．

（3）由（2）知f（x）=-x3+ax2+1-a，且a＞．

要讨论直线y=x-1与函数y=f（x）图象的交点个数情况，

即求方程组

解的个数情况：由-x3+ax2+1-a=x-1，得（x3-1）-a（x2-1）+（x-1）=0．

即（x-1）（x2+x+1）-a（x-1）（x+1）+（x-1）=0．

即（x-1）[x2+（1-a）x+（2-a）]=0．∴x=1或x2+（1-a）x+（2-a）=0．

由方程x2+（1-a）x+（2-a）=0，（*）

得△=（1-a）2-4（2-a）=a2+2a-7．∵a＞，

若△＜0，即a2+2a-7＜0，解得＜a＜2-1．此时方程（*）无实数解．

若△=0，即a2+2a-7=0，解得a=2-1．此时方程（*）有一个实数解x=-1．

若△＞0，即a2+2a-7＞0，解得a＞2-1．

此时方程（*）有两个实数解，分别为

x1=，x2=．

且当a=2时，x1=0，x2=1．

综上所述，当＜a＜2-1时，直线y=x-1与函数y=f（x）的图象有一个交点．

当a=2-1或a=2时，直线y=x-1与函数y=f（x）的图象有二个交点．

当a＞2-1且a≠2时，直线y=x-1与函数y=f（x）的图象有三个交点．

（Ⅰ）f'（x）=3x2+2bx+c，…（1分）

由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，

知x=0是f（x）的一个极值点．…（2分）

∴f'（0）=0，得c=0．…（3分）

（Ⅱ）令f'（x）=0，得3x2+2bx=0，∴x1=0，x2=-b(b＜0)．…（4分）

∵f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，

∴A，B为f（x）的极值点．…（5分）

则m=0，n=-b(b＜0)．…（6分）

又f(0)=-b，f(-b)=b3-b

若f（x）在[0，-b]上存在零点．

∵f（0）=-b＞0，

则f(-b)=b3-b≤0．…（7分）

∵b＜0，∴b2≥1，b2≥，∴b≤-．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ），知由f'（x）=0，

得x1=0，x2=-b(b＜0)．

∵f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，f'（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的符号，…（9分）

∴2≤-b≤4，

即-6≤b≤-3．…（10分）

假设存在点M（x0，y0）使得f（x）在M处切线斜率为2b，

则f'（x0）=2b，即3x20+2bx0-2b=0，…（11分）

△=4b2+24b=4（b2+6b）=4（b+3）2-3b，

∵-6≤b≤-3，∴-3b≤△≤0，…（12分）

当b=-6时，△=0，

由3x02-12x0+12=0得x0=2，

故存在这样点M，坐标为（2，-10）．…（14分）

（1）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即为alnx+2x≤（a+3）x-x2，化简得：a（x-lnx）≥x2-x，

由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而a≥，设y=，

由y′==，

∵当x∈（1，e）时，x-1＞0，x+1-lnx＞0，

∴y′＞0在x∈[1，e]时成立，则y=递增，ymin=-．

由不等式有解，可得知a≥ymin=-，即实数a的取值范围是[-，+∞）．

（2）当a=1，f（x）=lnx．

由m[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）恒成立，得

mg（x1）-x1f（x1）＞mg（x2）-x2f（x2）恒成立，

设t（x）=x2-xlnx（x＞0）．

由题意知x1＞x2＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，

∴t′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥恒成立，

因此，记y=，得y′=，

∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．

由此可得h（x）max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．．

（1）由题意知，F（x）=f（x）-x=a（x-m）（x-n）

当m=-1，n=2时，不等式F（x）＞0

即为a（x+1）（x-2）＞0．

当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞2}；

当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜2}．

（2）f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1）

∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，0＜ax＜am＜an＜1；

∴x-m＜0，an＜1，∴1-an+ax＞0

∴f（x）-m＜0，即f（x）＜m．