热门试卷

解：（1）因为

所以

得曲线在x=1处的切线的斜率为1-a

由已知在x=1处的切线方程为

从而1-a=3

∴ ；

（2）充分性：∵a=1

∴当时，

∴函数在（1，+∞）是增函数

当时，

∴函数在（0，1）是减函数

∴

必要性：由

当时，

∴函数在（0，+∞）是增函数而

当时，与当恒成立矛盾

∴时不满足题意

当时，时

∴函数在（a，+∞）是增函数

当时，

∴函数在（0，a）是减函数

∴

∵

∴当时，此时与恒成立矛盾

综上恒成立的充要条件是a=1；

（3）由（2）知当a＜0时，函数f（x）在（0，1]是增函数

而函数f（x）=在（0，1]是减函数

不妨设

则，

∴

等价于

即

设

则等价于h（x）在（0，1]上是减函数

∴在（0，1]上恒成立

即在（0，1]上恒成立

即a不小于在（0，1]上的最大值

而函数在（0，1]上是增函数

∴函数的最大值为-3

故

又a＜0

故实数a的取值范围为[-3，0）。

解：（I）因为，

又因为当x=0时，f（0）=0，

所以方程f（x）﹣x=0有实数根0．

所以函数是的集合M中的元素．

（II）假设方程f（x）﹣x=0存在两个实数根α，β（α≠β），

则f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c（α，β）

使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f'（c）成立．

因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，

所以f'（c）=1，

与已知0＜f'（x）＜1矛盾，

所以方程f（x）﹣x=0只有一个实数根；

（III）不妨设x2＜x3，因为f'（x）＞0，

所以f（x）为增函数，

所以f（x2）＜f（x3），

又因为f'（x）﹣1＜0，

所以函数f（x）﹣x为减函数，

所以f（x2）﹣x2＞f（x3）﹣x3，

所以0＜f（x3）﹣f（x2）＜x3﹣x2，

即|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|，

所以|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|=|x3﹣x1﹣（x2﹣x1）|≤|x3﹣x1|+|x2﹣x1|＜2

解：（1），

则f(0)=1，f′(0)=2，

故f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x+1。

（2）由（1）知，

由；由；

由，

故f(x)在区间上为增函数，在区间上为减函数，

又，

故其最小值为，

要使f(x)≥0对任意实数x∈[0，π]恒成立，

只需，

即m的取值范围是。

解：（1）由题意知

∵曲线y= f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切

∴

∴

（2）∵，

∴①当a＜0时，f′（x）>0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点。

②当a>0时，由f′（x）=0可得

i）当时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增；

ii）当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

iii）当时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增

综上可知，是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点。

设切线方程为y=k（x-2），所以因为相切所以△=0，解得k=0或k=-1，

∴切线方程为x+y-2=0．或y=0

（I）由题意得，f′（x）=x-a+，

∵在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，

∴在点（2，f（2））处的切线的斜率是，即f′（2）=2-a+=，

解得a=2，

（II）由（I）知，f′（x）=x-a+=，且x＞0，

∵f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

∴f′（x）=≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

即x2-ax+a+1≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

设g（x）=x2-ax+a+1，对称轴x=，

则或，解得-1≤a≤0或0＜a＜2+2，

故a的取值范围是-1≤a＜2+2，

（III）“＞1”的几何意义是函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞1，

即在任一点处的切线斜率k＞1，

即证当-1＜a＜3时，对x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，

∴f′（x）=＞1，且x＞0，即x2-（a+1）x+a+1＞0在（0，+∞）恒成立，

设h（x）=x2-（a+1）x+a+1＞0，且对称轴x=，

由-1＜a＜3得，0＜＜2，

则h(x)min=h()=(

a+1

2

)2-(a+1)+a+1=，

由-1＜a＜3得，＞0，

故结论得证．

解：(Ⅰ)，，

又f(1)=1-a，切线方程：y-(1-a)=(4-a)(x-1)，即(4-a)x-y-3=0，

又切线与圆(x-1)2+y2=1相切，得；

(Ⅱ)若函数f(x)在定义域上存在单调减区间，(0，∞)使得f′(x)＜0成立不等式有正数解，

又x＞0，故2x2-ax+2＜0有解，

①当a＜0不可能；

②当a＞0时，Δ=a2-4a＞0，a＞4；

(Ⅲ)若a=1，对使成立；

f(x)在[1，e]上的值域为[0，e2-e+2]且g(x)=，

g(1)∈[0，e2-e+2]，m-1∈[0，e2-e+2]，即m≥1，

，

故m的取值范围为e2≤m≤e2-e+3。

解析：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）

又，

解得b=0，a=-3或a=1

（Ⅱ）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于

导函数f'（x）[是二次函数]，在（-1，1有实数根但无重根．

∵f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，

令f'（x）=0得两根分别为x=a与x=-

若a=-即a=-时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，

当两者不相等时即a≠-时

有a∈（-1，1）或者-∈（-1，1）

解得a∈（-5，1）且a≠-

综上得参数a的取值范围是（-5，-）∪（-，1）

（1）∵g'（x）=e1-x1xe1-x=ex-1（1-x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e2-e函数g（x）在区间（0，e]上的值域为（0，1]…．（3分）

（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数                              …（5分）∵f′(x)=a-(1≤x≤e)

当a≤0时，f′(x)=a-＜0，在区间[1，e]上递减，不合题意

当a≥1时，f'（x）＞0，在区间[1，e]上单调递增，不合题意

当0＜a≤时，f'（x）＜0，在区间[1，e]上单调递减，不合题意

当1＜＜e即＜a＜1时，在区间[1，]上单调递减；在区间[，e]上单递增，

由上可得a∈(，1)，此时必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，而由f(x)min=f()=2+lna≤0可得a≤，则a∈Φ

综上，满足条件的a不存在．…..（8分）

（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于kAB，不妨设0＜x1＜x2，则kAB===a-，而f（x）在点M处的切线斜率为f′(x0)=f′()=a-，故有=…..（10分）

即ln==，令t=∈(0，1)，则上式化为lnt+-2=0，

令F（t）=lnt+-2，则由F′(t)=-=＞0可得F（t）在（0，1）上单调递增，故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+-2=0无解，所以函数f（x）不具备性质“L”．…（14分）