热门试卷

(Ⅰ) 1；（Ⅱ）的图象向下平移1个单位后，两函数图象在公共点（1,0）处有相同的切线

试题分析：(Ⅰ)先求导，再求导数等于0的根，解导数大于0、小于0的不等式得函数的单调区间。根据函数单调性求其最值。（Ⅱ）令，的图象有公共点即有解。公共点处切线相同.因为切点为同一点只需斜率相等即可。由导数的几何意义可知在切点处的导数就是在切点处切线的斜率，所以只需两函数在切点处导数相等。解方程组即可求出。

试题解析：(Ⅰ)，则，    2分

令解得，    3分

因时，，当时，，    5分

所以当时，达到最小，的最小值为1.   7分

（Ⅱ）设上下平移的图象为c个单位的函数解析式为.

设的公共点为.

依题意有：        10分

解得，

即将的图象向下平移1个单位后，两函数图象在公共点（1,0）处有相同的切线.         13分

(1)（i）, 在单调增加.

(ii),在单调减少，在单调增加.

(iii),在单调减少，在单调递增.

（2） .

试题分析：(1)的定义域为.   注意分以下情况讨论导函数值的正负，确定函数的单调区间.， ,等.

（2）由题意得恒成立.

引入函数，  则

得到在区间上是增函数，从而只需，求得 .

试题解析：(1)的定义域为.                    1分

           3分

（i）若即,则故在单调增加.    4分

(ii)若,而,故,则当时，;

当或时，；

故在单调减少，在单调增加.       5分

(iii)若,即,

同理可得在单调减少，在单调递增.      6分

（2）由题意得恒成立.

设，                        8分

则

所以在区间上是增函数，            10分

只需即                    12分

（1）的取值范围是；（2）．

试题分析：（1）本问题等价于，                            1分

，，                                       2分

所以在上递减，在上递增，                      3分

所以                                     4分

又，所以，所以的取值范围是； 5分

（2），

，，  6分

所以在递增，所以，              7分

①当，即时，在递增，所以，

9分

②当，即时，存在正数，满足，

于是在递减，在递增，                     10分

所以，11分

，所以在递减，    12分

又，所以，                       13分

，因为在上递增，所以，    14分

由①②知的取值范围是．                       15分

点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。本题对a-2的取值情况进行讨论，易于出错。

（1）的单减区间是，单增区间是；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）函数问题先求定义域，当时，由于函数中含有绝对值符号，故要考虑或两种情况，接着求分别，令，求出其单调增区间或减区间；（2）当时，

，即，构造新函数，用导数法求函数的最小值，必须对分类讨论，从而求出的最小值；（3）由（2）得， ，当时，不等式左边，所以不等式成立，当时，令代入，用放缩法证明不等式成立.

试题解析：（1）当时，

当时，，

，

在上是减函数；

当时，，

，令得，，

在上单减，在上单增

综上得，的单减区间是，单增区间是．      4分

（2）当时，

即，设  5分

当时，，不合题意；    6分

当时，

令得，，

时，，在上恒成立，在上单增，

，故符合题意；  8分

②当时，，对，，，

故不合题意．综上，的最小值为．               9分

(3)由（2）得，   ①

证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．

当n≥2时，令①式中得

，

，

，

所以当n≥2时不等式成立．

命题得证．                       14分

（1）；（2）;（3）详见解析.

试题分析：（1）先求函数的导数，因为在区间不单调，所以导函数的值不恒大于或小于0，即函数的最大值大于0，函数的最小值小于0，即不单调；

（2）根据条件化简得，，，求出， 的最小值即可确定的范围,首先对函数求导，确定单调性，求出最值；

（3）先假设曲线上存在两点满足题意，设出，则，从而由是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形可建立关系式，分情况求解即可．

试题解析：（1）由

得   因在区间[1，2]上不是单调函数

所以在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0

     ∴              4分

（2）由，得．

，且等号不能同时取，，即 

恒成立，即          6分

令，求导得，，

当时，，从而，

在上为增函数，，

．                      8分

（3）由条件，，

假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，  9分

不妨设，则，且．

是以为直角顶点的直角三角形，，

  （*），

是否存在，等价于方程在且时是否有解．

①若时，方程为，化简得，此方程无解；       12分

②若时，方程为，即，

设，则，

显然，当时，，即在上为增函数，

的值域为，即，当时，方程（*）总有解．

对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．    14分

（1）f(x)＝xln x  （2）－    (3) [－1，＋∞)

(1)由f(x)在点(e，f(e))处的切线方程与直线2x－y＝0平行，得该切线斜率为2，即f′(e)＝2.

又∵f′(x)＝a(ln x＋1)，∴a(ln e＋1)＝2，a＝1，

所以f(x)＝xln x.

(2)由(1)知f′(x)＝ln x＋1，显然f′(x)＝0时，x＝e－1，当x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在上单调递减，当x∈时f′(x)>0，所以函数f(x)在上单调递增，①当∈(n，n＋2]时，f(x)min＝f＝－；

②当≤n<n＋2时，函数f(x)在[n，n＋2]上单调递增，因此f(x)min＝f(n)＝nln n；

所以f(x)min＝

(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，又g(x)＝x2－tx－2，∴3x ln x≥x2－tx－2，

即t≥x－3ln x－.设h(x)＝x－3ln x－，x∈(0，e]，则h′(x)＝1－＋＝，由h′(x)＝0得x＝1或2，∴x∈(0,1)，h′(x)>0，h(x)单调递增，x∈(1,2)，h′(x)<0，h(x)单调递减，x∈(2，e)，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)极大值＝h(1)＝－1，且h(e)＝e－3－2e－1<－1，所以h(x)max＝h(1)＝－1.

因为对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，

∴t≥h(x)max＝－1.故实数t的取值范围是[－1，＋∞)．

（1）是极大值点，是极小值点；（2）.

试题分析：（1）利用导数求出函数的两个极值点，并结合导数符号确定相应的极大值点与极小值点；（2）在（1）的基础上，对与极小值的大小作分类讨论，结合图象确定的表达式，然后再根据的表达式确定相应的最小值.

试题解析：（1），

由解得：，，

当或时，，

当时，

所以，有两个极值点：

是极大值点，；

是极小值点，；

（2）过点作直线，与的图象的另一个交点为，

则，即，

已知有解，则，

解得，

当时，；；

当时，，，

其中当时，；

当时，，；

所以，对任意的，的最小值为（其中当时，）.

（1）;（2）;(3)证明见解析．

试题分析：（1）由知当时，，当时，，可得函数的最值．(2)当时，函数的图象恒直线的上方，等价于时，不等式恒成立，即恒成立．令,由可得的取值，从而得的取值；（3）由（2）知当时，，，则，即，令取1，2…可得不等式，累加可得．

解：（1）定义域为，且，

当时，，

当时，,

在为为减函数；在上为增函数，

 ．

(2)当时，函数的图象恒直线的上方，等价于时，不等式恒成立，即恒成立，令，则当时，，故在  上递增，所以时，，故满足条件的实数取值范围是．

（3）证明：由（2）知当时，     

令，则，化简得      

即 

（1）；（2）当时，函数在区间上单调递增；（3）直线的斜率的取值范围是 

试题分析：(1)求导得，因为函数在处取得极值2，

所以，由此解得，从而得的解析式；（2）由（1）知，由此可得的单调增区间是[-1，1]，要使得函数在区间上单调递增，则（3）由题意及导数的几何意义知，求直线的斜率的取值范围就是求函数的导数的取值范围

试题解析：(1)因为                  （2分）

而函数在处取得极值2，

所以， 即 解得 

所以即为所求                  （4分）

（2）由（1）知

令得：

则的增减性如下表：

可知，的单调增区间是[-1，1]，                   （6分）

所以

所以当时，函数在区间上单调递增。  （9分）

（3）由条件知，过的图象上一点P的切线的斜率为：

    （11分）

令，则，

此时，的图象性质知：

当时，；

当时，

所以，直线的斜率的取值范围是         （14分）