热门试卷

（1）;（2）证明见解析.

试题分析：（1）极值点的求法是利用导数知识求解，求出，求得的解，然后确定当以及时的的符号，若当时，，当时，，则是极大值点，反之是极小值点；（2）题设中没有其他的已知条件，我们只能设，则的横坐标为，利用导数可得出切线的斜率，，题设要证明的否定性命题，我们用反证法，假设两切线平行，即，也即，下面的变化特别重要，变化的意图是把这个等式与已知函数联系起来，等式两边同乘以，得

，从而等式变为，注意到，此等式为能否成立？能成立，说明存在平行，不能成立说明不能平行.设，仍然用导数的知识来研究函数的性质，，即是增函数，从而在时，，即等式不可能成立，假设不成立，结论得证.

试题解析：（1）

                2分

令h’(x)=0，则4x2+2x-1=0，

解出x1=,x2=                  3分

   4分

   5分

所以的极大值点为                   6分

（2）设P、Q的坐标分别是.

则M、N的横坐标.

∴C1在点M处的切线斜率为，

C2在点N处的切线斜率为.            7分

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则，

即                    8分

则

                       10分

设t=,则   ①

令则

∴r(t)在[1,+∞）上单调递增，故r(t)>r(1)=0.

∴，这与①矛盾，假设不成立，

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.        12分

（1）两个零点，理由见解析     （2）见解析

（1）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点

解法1：，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；

所以，

当时，单调递减，而，则在内无零点；

当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；

从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。

解法2：，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，

综上所述，有且只有两个零点。

（2）记的正零点为，即。

（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.

（1） 当时，无极值；当时，在处取得极小值，无极大值。 （2）见解析

试题分析：（1） ,在求极值时要对参数讨论,显然当时为增函数,无极值,当时可求得的根,再讨论两侧的单调性;（2）要证明增函数,可证明恒正,可再次对函数进行求导研究其单调性与最值,只要说明的最小值恒大于等于0即可.已知函数在一个区间上的单调性,可转化为导函数在这个区间上恒正或恒负问题,变为一个恒成立问题,可用相应函数的整体最值来保证,若求参数范围可以采用常数分离法.

试题解析：（1）由题意：

①当时，，为上的增函数，所以无极值。

②当时，令得， 

，；，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值

综上，当时，无极值；当，在处取得极小值，无极大值。

（2）由

设，则

所以时，；时，

所以在上单调递减,在上单调递增,

所以即在上单调递增.

（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）

试题分析：（1）对函数f（x）求导可得，由，可得得或，而在处有极大值，从而可得a；（2）假设存在，即存在x∈(−1，)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(−1，)，及a＞0，可得x-a＜0，则存在x∈(−1，)，使得，结合二次函数的性质求解；（3）据题意有f（x）-1=0有3个不同的实根，g（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．g（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足⇒a＞1或a＜−3；有3个不同的实根，从而结合导数进行求解.

试题解析：（Ⅰ），则，

令，得或，而在处有极大值，∴，或；综上：或．               （3分）

（Ⅱ）假设存在，即存在，使得

，

当时，又，故，则存在，使得， （4分）

当即时，得，；      （5分）

当即时，得，  （6分）

无解；综上：．                                   （7分）

（Ⅲ）据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．

（ⅰ）有2个不同的实根，只需满足；   （8分）

（ⅱ）有3个不同的实根，

当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；    （9分）

当即时，不符合题意，舍；

当即时，在处取得极大值，；所以；  （10分）

因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故；（注：也对）      （11分）

下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；

若存在使得，

由，即，得，

当时，，不符合，舍去；

当时，既有  ①；

又由，即 ②；   联立①②式，可得；

而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．

综上，当时，函数有5个不同的零点．          （14分）

（1）；（2）；（3）.

试题分析：（1）根据条件中以及A,B,C三点共线可得，从而求得y的解析式；（2）要使在上恒成立，只需，通过求导判断的单调性即可求得在上的最大值，从而得到a的取值范围；（3）题中方程等价于，因此要使方程有两个不同的实根，只需求得在(0,1]上的取值范围即可，通过求导判断单调性显然可以得到在(0,1]上的取值情况.

（1），

又∵A,B,C在同一直线上，∴，则，

∴    4分

（2）∴①    5分

设依题意知在上恒成立，

∴h(x)在上是增函数，要使不等式①成立，当且仅当∴．    8分；

（3）方程即为变形为

令，

∴    10分

列表写出 x，，在[0，1]上的变化情况：

显然g(x)在（0，1］上的极小值也即为它的最小值．    12分

现在比较ln2与的大小；

∴要使原方程在（0，1]上恰有两个不同的实根，必须使

即实数b的取值范围为    14分.

（Ⅰ）（0，1）是g（x）的单调减区间；（1，+∞）是g（x）的单调递增区间

（Ⅱ）

（Ⅲ）0＜a＜e

试题分析：（I）求导，并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果；

（Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的单调性，半径两个函数的大小关系即可．

（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，转化不等式，求解即可．

解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，

∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，

因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，

从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．

（II）

设，则h'（x）=﹣，

当x=1时，h（1）=0，即，

当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）=0，

因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，

当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即，

当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即．

（III）由（I）知g（x）的最小值为1，

所以，g（a）﹣g（x）＜，对任意x＞0，成立⇔g（a）﹣1＜，

即Ina＜1，从而得0＜a＜e．

点评：此题是个难题．主要考查导数等基础知识，考查推理论证能力和、运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归和转化思想，分类与整合思想．其考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

(1)

(2) ①时, 有最小值

②时 ，有最小值

③时 ，有最小值

试题分析：(1) 先求导数得，

将函数在上单调递减转化为在上恒成立，由于

进一步转化为在上恒成立，最后利用二次函数的图象和性质求出a的取值范围；

(2)结合第一问的结果可得

通过对的两个零点的大小关系的讨论，利用导数研究的单调性并求最小值.

试题解析：

解：(1)        1分

若在上单调递减，则在上恒成立.

而，只需在上恒成立.        2分

于是                        4分

解得                              5分

(2) 

求导得=                    6分

令 ，得 

                           7分

①若即 时，在上成立，此时 在 上单调递增，有最小值                             9分

②若即 时 ，当时有 此时在上单调递减，当 时有 ，此时在 上单调递增，有最小值                              2分

③若 即时 ，在上成立，此时 在上单调递减，有最小值.                        13分

(1)在上减,在上增;当时,取极小值（2）见解析

试题分析：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．

（1）由，知，令，得到

，列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．

（2）设，于是，由（1）知当a＞ln2-1时，最小值为.于是对任意x∈R，都有，所以g（x）在单调递增．由此能够证明.

试题解析：（1）由，知，令，得到

，故在上单调递增，在上单调递减，当时,

，即取极小值

（2）设函数,则,由（1）知的极小值也是最小值为，当时，，即在内，的最小值，恒成立，即在内，在单调递增，即即