热门试卷

（1）函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）在上的最大值为；

(3) 证明过程详见试题解析.

试题分析：（1）先对函数求导，令导函数为0，即可求得函数在上单调递增，在上单调递减． （2）结合函数的单调性，分时，时，三种情况进行讨论，即可求在上的最大值；(3) 把证明过程转化为恒成立问题即可.

试题解析：（1）解：（1）函数的定义域是．由已知．

令，得．

因为当时，；当时，．

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）可知当，即时，在上单调递增，所以．

当时，在上单调递减，所以．

当，即时，．

综上所述，

（3）由（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为，，所以，即．因此对任意，不等式．

（1），   （2）（-，0]

（1）

由于直线的斜率为，且过点，故即

解得，。

（2）由（1）知，所以

。

考虑函数，则。

(i)设，由知，当时，，h(x)递减。而故当时，，可得；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）设0=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0]

点评：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。

（Ⅰ）（Ⅱ）只有一个零点

（Ⅰ），由题意知方程有两个不同的实数解，，解得．因此，实数的取值范围是．--------6分

（Ⅱ），．--------7分

设，，

因为，所以，故在上是增函数，---------9分

又，，

因此在内存在唯一的实数，使得，--------------11分

因为在上市增函数，所以在内存在唯一的实数，使得．

与随的变化情况如下表：

由上表可知，，又，

故的大致图象右图所示：

所以函数在内只有一个零点．--------15分

（1）详见试题解析；（2）时，的单调递增区间为，单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为和；时，的单调递减区间为，无单调增区间．

试题分析：（1）当时，，根据求函数极值的一般步骤，先求函数的定义域，再求导数，解的方程，得可能的极值点，进一步得函数的单调性，最后得的最小值，从而证得恒成立；（2）当时，先求的导数：，根据表达式的结构特征，分子为，故只需分，，几种情况，分别求函数的单调区间．

试题解析：（1）当时，，，，令，解得：．当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，∴．

所以，， ．                            5分

（2）的定义域为，．

①当时，，此时在区间上单调递增，在上单调递减；

②当时，．令，解得：．

ⅰ）当时，，令，解得：．令，解得：或，此时在区间上单调递增，在和上单调递减．

ⅱ）当时，，此时，在区间上单调递减．

综上，时，的单调递增区间为，单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为和；时，的单调递减区间为，无单调增区间．                              13分

⑴f (x)的极大值是f (－1)＝e－1，f (x)的极小值是f ()＝4;⑵① －1－e－1 ;②（－1，＋∞）．

试题分析： ⑴由 a＝2，b＝1得，f (x)＝(2＋)ex, 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞);从而可求得 f ′(x)＝ex, 令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表可求得f (x)的极值.

⑵①当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex,由已知得不等式g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立,即b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立,从而b≤(x2－2x－)min x∈(0，＋∞）,令h(x)＝x2－2x－（x＞0）利用函数导数求出h(x)的最小值即可.

②由于g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex; 由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．

存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．

注意到a＞0，所以＝（x＞1）;设u(x)＝（x＞1），则问题等价于的最小值(或下确界),利用函数导数可判断u(x)在上的单调性可求得从而可得的取值范围为（－1，＋∞）．

试题解析：⑴当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋)ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

所以f ′(x)＝ex．令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表

由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1，f (x)的极小值是f ()＝4．

⑵① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex．

因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．

记h(x)＝x2－2x－（x＞0），则h′(x)＝．

当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；

当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．

所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1．所以b的最大值为－1－e－1．

②因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex．

由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．

存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．

因为a＞0，所以＝．设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝．

因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，

所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）．

（1）；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）对函数求导数，分离变量得，再设，用导数法判断的单调性、极值，从而求出的取值范围；（2）设x1、x2是任意的两实数，且x12，

，则，构造函数，则函数在上是增函数，即恒成立，即对任意的t≤-1，x∈R，恒成立，再用均值不等式求的最小值，从而求得；（3）由（1）知，，得，令，放缩得，把

取，则

取，则

而用导数法

（1）(x>0)恒成立.

设(x≥0)，则，

∴在单调递增，（x=1时取等号），

∴t≤1         4分.

（2）设x1、x2是任意的两实数，且x12，

，故，

设，则F(x)在R上单增，（7分）

即恒成立.

即对任意的t≤-1，x∈R，恒成立.

而

故m<3.（9分）

（3）由（1）知，

取，则

∴(n∈N*).（14分）

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用导数求出极值，令极值为，解方程得b的值，先对求导，利用“为递增函数，为递减函数”判断函数单调性，利用单调性判断极大值为；第二问，将“对任意，都有恒成立”转化为“”，令，利用导数求的最小值；第三问，先利用已知得到的解析式，代入到已知的f（x0+k）= f（x0)+ f（k）中，得到方程，根据函数定义域，得.

（1）由，得，

令，得或．                    2分

当变化时，及的变化如下表：

所以的极大值为=，

．                            4分

（2）由，得．

，且等号不能同时取，

，即 

恒成立，即              6分

令，求导得，，

当时，，从而，

在上为增函数，

，

．                         9分

（3）证明：

由已知，存在，使关于实数a 可线性分解，则，

即：     10分

，                   12分

因为 所以                    14分

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式、三角函数等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，考查函数思想、转化思想等数学思想方法.第一问，对求导，因为在有极值，所以是的根，列出表达式，求出，不等式恒成立等价于恒成立，所以下面的主要任务是求的最大值，对求导，利用三角公式化简，求的最值，判断的正负，从而判断的单调性，求出最大值；第二问，由单调递增，所以解出的取值范围，由已知在上单调递增，所以得出，利用子集关系列出不等式组，解出.

试题解析：∵，∴，

由题意，得，，解得.     2分

（1）不等式等价于对于一切恒成立.      4分

记

     5分

∵，∴，∴，∴，

∴，从而在上是减函数.

∴，于是，故的取值范围是.     6分

（2），由，得，即

.     7分

∵函数在区间上单调递增，

∴，

则有，，     9分

即，，

∴只有时，适合题意，故的取值范围为.     12分