热门试卷

（1）详见解析；（2）实数的取值范围是；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求出函数的导数，对的符号进行分类讨论，即对函数是否存在极值点进行分类讨论，结合函数的单调性或导数符号确定函数的极大值或极小值；（2）利用（1）中的结论，将问题转化为，结合（1）中的结论列不等式解参数的取值范围；（3）在（2）中，令，得到不等式在上恒成立，然后令得到，两边同除以得到

，结合放缩法得到，最后；利用累加法即可得到所证明的不等式.

试题解析：（1），

当 上无极值点 

当p>0时，令的变化情况如下表：

从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 

（2）当时在处取得极大值，

此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，

∴，即p的取值范围为[1，+∞；

（3）令，由（2）知，

∴，∴，

∴ 

,∴结论成立

另解：设函数，则，令，解得，则，

∴==（

（14分）

（1）上为增函数；

上为增函数；在上为减函数；

（2）易知k>0,则即；

（3）令则对恒成立

即：对恒成立

取，则即，

略

（I）函数的零点个数有3个；(Ⅱ) 

试题分析：（I）为确定函数零点的个数，可通过研究函数图象的形态、函数的单调性完成，具体遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.

(Ⅱ)为确定函数的极值，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.

本小题利用“表解法”，形象直观，易于理解.为使，满足，从而得到.

试题解析：

（I），  1分

当时，有最小值为，

所以，即，  2分

因为，所以，  3分

所以，

所以在上是减函数，在上是增函数，  4分

而，，  5分

故函数的零点个数有3个；  6分

(Ⅱ)令，得，  7分

由知，根据（I），当变化时，的符号及的变化情况如下表：

因此，函数在处取得极小值，  9分

要使，必有可得，  10分

所以的取值范围是 ． 12分

（1）的单调递增区间为，的单调递减区间为；

（2）

试题分析：（1）将代入，求导即可 （2）注意恒大于等于0，故只需对任意恒成立即可 接下来就利用导数研究函数 

试题解析：（1）当时，

令，得或；令，得

的单调递增区间为

的单调递减区间为                            6分

（2）因为对任意，设 

当时，对恒成立， 符合题意   9分

当时，由得；由得；

所以在上是减函数，在上是增函数

又，故不符合题意            12分

综上所述的取值范围是            13分

(1)

(2)存在唯一的自然数m＝3，使得方程在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根．

试题分析：(1)为求函数的解析式，可根据是二次函数，且的解集是(0,5)，

设出应用“待定系数法”．

(2)首先注意到方程＝0等价于方程，从而，可通过研究函数

达到解题目的.

具体地，通过“求导数、求驻点、讨论导数的正负、确定函数的单调区间”，认识方程的根分布情况.

试题解析：

(1)∵是二次函数，且的解集是(0,5)，

∴可设．

∴在区间[－1,4]上的最大值是.

由已知，得                   5分

(2)方程＝0等价于方程

设

则．                          7分

当x∈时，，因此在此区间上是减少的；

当x∈时，，因此是在此区间上是增加的．

∵h(3)＝1>0，h＝<0，h(4)＝5>0，               10分

∴方程＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，

∴存在唯一的自然数m＝3，使得方程在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根．                                       12分

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）判断函数的单调区间，一般利用其导数的符号判断，使导函数为正的区间是增区间，使函数为负的区间是减区间；（2）函数的值域则可利用（1）中得到的函数的单调性进行求解；（3）恒成立问题则常用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，而求函数的最值则仍可利用导数去判断函数的单调性.

试题解析：⑴，由解得，

由解得，或，

故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

4分

⑵当时，解得，由⑴可知函数在上递增，在上递减，

在区间上，；

在区间上，函数的值域为.        8分

⑶，两边取自然对数得，

对恒成立，则，

由⑵可知当时，，.   12分

（13分）

（1）                              （2）

（3）且

略