热门试卷

（Ⅰ）在区间上是单调递减函数；（Ⅱ）k的取值范围是；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）将代入求导，根据其符号即可得其单调性；（Ⅱ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，即方程有两个根.接下来就研究函数图象特征，结合图象便可知取何值时，方程有两个根.

（Ⅲ）结合图象可知，函数的两个极值点，满足.

，这里面有两个变量，那么能否换掉一个呢？

由，得，利用这个关系式便可将换掉而只留：

，这样根据的范围，便可得，从而使问题得证.

试题解析：（Ⅰ）若，，则，

当时，，

故函数在区间上是单调递减函数． 4分

（Ⅱ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，

即方程有两个根，设，则，

当时，，函数单调递增且；

当时，，函数单调递增且；

当时，，函数单调递减且．

要使有两个根，只需，

故实数k的取值范围是． 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函数的两个极值点，满足， 10分

由，得，

所以，

由于，故，

所以． 14分

（1）；（2）；（3）①时，解集为；

②m>3时，解集为或

试题分析：（1）因解析式中有绝对值，，则把分情况利用基本不等式讨论函数的值域；（2）易得函数的解析式，再分情况去掉绝对值，利用基本不等求函数的最小值，从而得结论；（3）分两种情况求方程的解

试题解析：(1)①时，，

当且仅当，即时等号成立；

②，，由①②知函数的值域为

(2)，

①，，

②时，，

令，则，记，

，当且仅当，时等号成立，

(i)，即时，结合①知与无关；

(ii)，即时，，

在上是增函数，，

结合①知与有关；

综上，若的最小值与无关，则实数的取值范围是

(3)①时，关于的方程的解集为；

②m>3时，关于x的方程的解集为或

（1）; （2）．

试题分析：（1）先将所给进行化简，然后对其进行求导，令导数等于零求出函数的零点，利用已知的范围和零点的大小进行分类讨论，结合函数的单调性与导数的正负的关系，可以在各自情况下求出函数的最小值，最后用分段函数的形式表示出来; （2）根据题意将所给函数代入化简并参数分离可得，可令一个新函数故而转化为求函数的最小值，结合函数的特征运用导数不难求出它的最小值，即可求出的范围，最后由含有绝对值的不等式求出的范围．

试题解析：（1）当在区间时，，所以，当，，单调递减;当时，，单调递增，又

所以当，即时，;当时，在区间时是递增的，，故; （2）由可得，则，设，则，递增; 递减，，故所求的范围．

（1）；（2）的取值范围是.

试题分析：本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，将代入得到解析式，对求导，将代入得到切线的斜率，再将代入中得到切点的纵坐标，最后利用点斜式方程直接写出切线方程；第二问，将恒成立问题转化成函数的最小值问题，对求导，判断范围内的函数的单调性，判断出当时，，所以.

试题解析：(1)当，

，，，

故所求切线方程为：，

化简得：.(5分)

(2) ，，

化简得：，

设，

求导得：.

当时，；当时，.

故在单调减少，在单调增加．

故在时取极小值．

则在时，.

综上所述：，即的取值范围是．(13分)

解: （I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

即       解得a=1，b="0. " ∴f(x)=x3－3x.

（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，

当－1

fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|

|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4

（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为，

整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x0方程=0有三个实根.

设g(x­0)= ，则g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0­=1.

∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1

∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3

故所求的实数a的取值范围是－3

略

（1）（2）见解析

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），…（2分）

∵f′(x)=-ax+b，f′（1）=1-a+b=0，

得：b=a-1．…（4分）

（Ⅱ）将b=a-1代入f′(x)=-ax+b，

得f′(x)=-ax+a-1

=-．…（6分）

当f′（x）＞0时，-＞0，

由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，

∵a＞0，

∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增，

当f′（x）＜0时，-＜0，

由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，

∵a＞0，∴x＞1，

即f（x）在（1，+∞）上单调递减．

∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（9分）

（Ⅲ）当c+≤1，即0＜c≤时，f（x）在[c，c+]上单调递增．

所以f(x)max=f(c+)

=ln（c+）-（c+）2+c+

=ln（c+）+-c2．…（11分）

当，即＜c＜1时，f（x）在[c，1]上单调递增，在[1，c+]上单调递减，

所以f（x）max=f（1）=0．…（13分）

当c≥1时，f（x）在[c，c+]上单调递减．

所以f(x)max=f(c)=lnc-c2+c．…（15分）

综上：f(x)max=．

∵函数f（x）=2x2-xf′（2），

∴f′（x）=4x-f′（2），

∴f′（2）=8-f′（2），

∴f′（2）=4

∴f（2）=8-2×4=0

∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y-0=4（x-2）

即4x-y-8=0

故答案为：4x-y-8=0

（1）a＝16（2）单调增区间为(－1,1)，(3，＋∞)，单调减区间为(1,3)．（3）(32ln 2－21,16ln 2－9)

f(x)的定义域为(－1，＋∞)．

(1)f′(x)＝＋2x－10，又f′(3)＝＋6－10＝0，

∴a＝16.经检验此时x＝3为f(x)的极值点，故a＝16.

(2)由(1)知f′(x)＝.

当－1<x<1或x>3时，f′(x)>0；

当1<x<3时，f′(x)<0.

∴f(x)的单调增区间为(－1,1)，(3，＋∞)，

单调减区间为(1,3)．

(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，极小值为f(3)＝32ln 2－21.

因为f(16)>162－10×16>16ln 2－9＝f(1)，

f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，

所以根据函数f(x)的大致图象可判断，在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)内，直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．

因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．