热门试卷

（1）函数的单调递增区间为；（2）的取值范围是．

试题分析：（1）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为的的取值区间；（2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数的取值范围．方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据题意列出关于实数的不等式组进行求解．本题将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，是解决问题的关键．

试题解析：（1）函数的定义域为，          1分

∵，            2分

∵，则使的的取值范围为，

故函数的单调递增区间为．              4分

（2）方法1：∵，

∴．        6分

令，

∵，且，

由．

∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，            9分

故在区间内恰有两个相异实根 12分

即解得：．

综上所述，的取值范围是．         14分

方法2：∵，

∴．        6分

即，

令，

∵，且，

由．

∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．     9分

∵，，，

又，

故在区间内恰有两个相异实根．        12分

即．

综上所述，的取值范围是．         14分

（Ⅰ）和；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）利用导数，列表分析即可确定的单调增区间；（Ⅱ）或，所以分成、、三种情况，利用导数，列表分析每一种情况下的最小值即可.

试题解析：（Ⅰ）当时，，定义域为．

．

令，得或．                              3分

列表如下

所以函数的单调增区间为和．                      6分

（Ⅱ）．

令，得或．                            ^  7分

当时，不论还是，在区间上，均为增函数。

所以；                                 8分

当时，

所以；                            10分

当时，

所以．                         12分

综上，．                       13分.

略

（1）当时，函数在区间上无最小值；

当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为．

（2） 不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直

 （1）解：∵，∴．

令，得．

①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

所以当时，函数取得最小值．

③若，则，函数在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值．

综上可知，当时，函数在区间上无最小值；

当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为．

（2）解：∵，，

∴

．

由（1）可知，当时，．

此时在区间上的最小值为，即．

当，，，

∴．

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．

故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直．

（1）函数的单调递增区间为；单调递减区间为.

（2）∴．

（1）由，可知

，                                  ……………3分

由得

由得                           ……………6分

∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为.      ……………8分

（2）①当时，，∴．……………11分

②当时，为减函数，

∴．              …………………14分

（1）1 在上是增函数.（2）见解析（3）见解析

（1）

由题知，即a-1=0，∴a=1.

则

∵x≥0，∴≥0，≥0，又∵＞0，∴x≥0时，≥0，

∴在上是增函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴

下面用数学归纳法证明＞0.①当n=1时，=1＞0成立；

②假设当时，＞0,∵在上是增函数，

∴＞∴＞0成立，综上当时，＞0.

又∵＞0,1+＞1,∴＞0,∵＞0,

∴＜，

而=1,∴≤1，综上，0＜≤1.（3）∵0＜＜≤1，

∴＜,∴＜,∴＜,

∴＞＞0,

∴=·…＜·…… =n.

∴Sn＝++…+

＜+()2+…+()n

＝＜==1.

∴Sn＜1.

（1）实数的取值范围是；（2）实数的取值范围是；（3）详见解析.

试题分析：（1）先利用导数求出函数的解析式，并利用导数求出函数的极值点，并将极值点限制在区间内，得出有关的不等式，求解出实数的取值范围；（2）利用参数分离法将问题在区间上恒成立转化为不等式在区间上恒成立，构造新函数，从而将问题转化为，借助导数求函数的最小值，从而得到实数的取值范围；（3）取，由（2）中的结论，即在上恒成立，从而得到在上恒成立，，令，代入上述不等式得到，结合累加法即可证明不等式.

试题解析：（1）由题意，               1分

所以                   2分

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

故在处取得极大值．                      3分

因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以，得．即实数的取值范围是．        4分

（2）由得，令，

则．                           6分

令，则，

因为所以,故在上单调递增．        7分

所以,从而

在上单调递增,

所以实数的取值范围是．                    9分

（3）由(2) 知恒成立,

即         11分

令则，        12分

所以， ，  ,．

将以上个式子相加得：

，

故．               14分

（解答题的其他解法可酌情给分）

(1)  ；(2)

试题分析：（1）求出的导函数，令导函数等于求出 的值，然后由的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值即可得到的值域；（2）设函数在[0，2]上的值域是A，根据题意对任意，总存在，使，得到区间是A的子集，求出的导函数，分小于0和大于0两种情况讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值，即可得到函数在相应区间的值域，根据区间[0，2]是A的子集判断出符合这一条件的情况，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的取值范围．

试题解析：（1），令，得或．         

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，

而，当时，的值域是． 

(2)设函数在上的值域是A，

若对任意．总存在1,使，．                             

．

①当时，，函数在上单调递减．        ，当时，不满足；

②当时，，令，得或(舍去)   

（i）时，的变化如下表：

．，解得．   

(ii)当时，，函数在上单调递减．

，当时，不满．

综上可知，实数的取值范围是．