热门试卷

解：（1）由a=0,f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即 

记，则f（x）≥h（x）在（1,+∞）上恒成立等价于．求得 

当时;;当时， 

故在x=e处取得极小值，也是最小值，

即，故．

（2）函数k（x）=f（x）-h（x）在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。

令g（x）=x-2lnx,则 

当时，,当时，

g（x）在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故 

又g（1）=1,g（3）=3-2ln3

∵g（1）>g（3）,∴只需g（2）

故a的取值范围是（2-2ln2,3-2ln3]

（3）存在m=，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f（x）的定义域为（0,+∞）。

若，则，函数f（x）在（0,+∞）上单调递增，不合题意;

若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故时，函数的单调递增区间为（,+∞）， 单调递减区间为（0, ）

而h（x）在（0,+∞）上的单调递减区间是（0,），单调递增区间是（，+∞）

故只需=，解之得m=

即当m=时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性

略

（1）（2）（3）略

（I）                  …………………………………1分

在上单调递减，因此当时，恒成立

即，化简得（）

令，即，………………………………4分

（II），         …………………………………5分

当时

，，单调递减；，，单调递增；

，         

当时，，单调递减，，（舍）

综上                                    ………………………………8分

（III）由（II）可知

令，，       …………………………………9分

当时，，单调递增，

即恒成立                …………………………………12分

,，不存在

解：（1），

，，

在处有极大值， 则

又有实根，或， （4分）

（2）的单调增区间为 则

[m、n]                 （8分）

（3）（方法一）由于上是减函数，

在上是增函数. 在上是减函数,而,

且. 在上的最小值就是在R上的极小值.

,      10分

得,

在上单调递增. ，不存在.

依上，不存在的取值，使恒成立.（12分）

（方法二）等价于 即，

当时，不等式恒成立； 当时，上式等价于

即， ，

在上递增

所以即   而故不存在。（12分

(Ⅰ)   (Ⅱ)   

（1）当时，

令 得所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

所以曲线在处的切线方程为：。…4分

（2）①当时，， 

，恒成立。在上增函数。故当时，

② 当时，，

（）…………8分

（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时

(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数

故当时，，且此时…………10分

(iii)当；即时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，。

综上所述，当时，在时和时的最小值都是………12分

所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为

，而，所以此时的最小值为。

当时，在时最小值为，在时的最小值为

而，所以此时的最小值为

所以函数的最小值为…………16分

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ) 见解析 （Ⅲ）见解析

（I）证:令,令时

时,. ∴

∴ 即.

（II）∵是R上的奇函数 ∴ ∴

∴ ∴ 故.

故讨论方程在的根的个数.

即在的根的个数.

令.注意,方程根的个数即交点个数.

对, ,

令, 得， 当时,; 当时,. ∴，

当时,；  当时,，但此时

，此时以轴为渐近线。

①当即时,方程无根;

②当即时,方程只有一个根.

③当即时,方程有两个根.

（Ⅲ）由(1)知,  令,

∴,于是,

∴

.

解：(1)因为成立，所以，由得3a+c=0，（2分）

由：，得 …4分

解之得：，  从而，函数解析式为：  …6分

(2)由于，，设：任意两数x1，是函数f(x)图像上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：，…（9分）

又因为：，，所以，，，得：知：

故，当是函数f(x)图像上任意两点的切线不可能垂直 …………12分

略

解：（1）………………………………………………………………（2分）

∵曲线在点处与直线相切

∴…………………………………（6分）

（2）∵, 由……………………（8分）

当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,

∴此时是的极大值点,是的极小值点……………（12分）

略

根据函数在某点处有极值的概念，可以知道在处导数为零。并且求解得到a,b的值，然后利用导数的正负号来解不等式，得到单调增减区间。第二问中，方程根的问题，可以通过分离参数的思想，来得到常函数与已知曲线有3个不同的交点问题来处理。

解：（1）函数f（x）=x3-3ax2+2bx的导数为f′（x）=3x2-6ax+2b

∵函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1，∴f′（1）=0，f（1）=-1

即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=1/3，b=-1/2

∴f（x）=x3-x2-x，f′（x）=3x2-2x-1

令f′（x）=0，即3x2-2x-1=0，解得，x=-1/3，或x=1

又∵当x＞1时，f′（x）＞0，当-1/3＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＜-1/3时，f′（x）＞0，

∴函数在x=-13时有极大值为f（-1/3）=5/27

函数在x=1时有极小值为f（1）=-1

(3)要的方程有3个不同实根，则需满足

略

解：（1）当时，；

当时，

（2）由得在恒成立，

此时        所以