热门试卷

（1）定义域为（0，+∞），

∵f′(x)=+2x＞0，…（3分），

∴f（x）在[1，e]上单调递增，…（5分）

∴当x=1时，f（x）min=f（1）=1…（7分）

（2）f′(x)=+2(x-a)=，…（9分）

由题可知，在区间[，2]上存在子区间使不等式2x2-2ax+1＞0成立使成立

又x＞0，∴2a＜2x+在[，2]上有解…（11分）

令g(x)=2x+，则只需2a小于g（x）在[，2]上的最大值

由g′(x)=2-＞0知x＞，

∴g（x）在[，2]上单调递增，在[，]上单调递减，…（13分）

∴g(x)max=max{g(2)，g()}

又g(2)=，g()=3，

故2a＜，即a＜…（15分）

解法一：（Ⅰ）依题意得f（x）=（2x-x2）ex，所以f'（x）=（2-x2）ex，

令f′（x）=0，得x=±，

当x∈(-∞，-)时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；

当x∈(-，)时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；

当x∈(，+∞)时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；

由上可知，x=-是函数f（x）的极小值点，x=是函数f（x）的极大值点．

（Ⅱ）f'（x）=[-ax2+（2a2-2）x+2a]eax，

由函数f（x）在区间(，2)上单调递减可知：f′（x）≤0对任意x∈(，2)恒成立，

当a=0时，f′（x）=-2x，显然f'（x）≤0对任意x∈(，2)恒成立；

当a＞0时，f′（x）≤0等价于ax2-（2a2-2）x-2a≥0，

因为x∈(，2)，不等式ax2-（2a2-2）x-2a≥0等价于x-≥

令g（x）=x-，x∈[，2]

则g'（x）=1+，在[，2]上显然有g′（x）＞0恒成立，所以函数g（x）在[，2]单调递增，

所以g（x）在[，2]上的最小值为g()=0

由于f′（x）≤0对任意x∈(，2)恒成立等价于x-≥对任意x∈(，2)恒成立，

需且只需g（x）min≥，即0≥，解得-1≤a≤1，因为a＞0，所以0＜a≤1．

综合上述，若函数f（x）在区间(，2)上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．

若＞0，即a＞1时，由于函数h（x）的图象是连续不间断的，

假如h（x）≥0对任意x∈(，2)恒成立，则有h()≥0，

解得-1≤a≤1，与a＞1矛盾，所以h（x）≥0不能对任意x∈(，2)恒成立．

综上所述：若函数f（x）在区间(，2)上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．

(1) f′(x)=2ax-x∈(-∞，0)

f′（-1）=-2a-1

a=-

（2）f′（x）≥0在x∈[-3，-2]上恒成立

2ax-≥01-x＞0

∴ax2-ax+1≤0在x∈[-3，-2]上恒成立，

令y=

1

-x2+x

 在∈[-3，-2]上单调递减，

∴ymin=-．

∴a≤-．

（Ⅰ）当m=1时，f（x）=x3+x2-3x+1，f（2）=+4-6+1=；

f′（x）=x2+2x-3，f′（2）=4+4-3=5，

所以所求切线方程为y-=5（x-2），即15x-3y-25=0；

（Ⅱ）对于f（x）=x3+mx2-3m2x+1，

f′（x）=x2+2mx-3m2，

令f′（x）=x2+2mx-3m2=0，解可得x=-3m或x=m；

由于m＞0，则m＞-3m，

若f′（x）=x2+2mx-3m2≥0，则x的范围是x≤-3m或x≥m；

所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-3m]和[m，+∞），

要使f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，

应有m+1≤-3m或2m-1≥m，

解得m≤或m≥1，①

对于区间（2m-1，m+1），有m+1＞2m-1，解可得m＜2，②

又由m＞0，③

综合三式可得1≤m＜2，

即实数m的取值范围{m|1≤m＜2}．

（Ⅰ）当m=1时，f（x）=x3+x2-3x+1，f（2）=+4-6+1=；

f′（x）=x2+2x-3，f′（2）=4+4-3=5，

所以所求切线方程为y-=5（x-2），即15x-3y-25=0；

（Ⅱ）对于f（x）=x3+mx2-3m2x+1，

f′（x）=x2+2mx-3m2，

令f′（x）=x2+2mx-3m2=0，解可得x=-3m或x=m；

由于m＞0，则m＞-3m，

若f′（x）=x2+2mx-3m2≥0，则x的范围是x≤-3m或x≥m；

所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-3m]和[m，+∞），

要使f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，

应有m+1≤-3m或2m-1≥m，

解得m≤或m≥1，①

对于区间（2m-1，m+1），有m+1＞2m-1，解可得m＜2，②

又由m＞0，③

综合三式可得1≤m＜2，

即实数m的取值范围{m|1≤m＜2}．

（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．

∵1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，

∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（-1）=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3．

（2）∵由（1）得，f（x）=x3-3x，

∴g'（x）=f（x）+2=x3-3x+2=（x-1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=-2．

∵当x＜-2时，g'（x）＜0；当-2＜x＜1时，g'（x）＞0，

∴x=-2是g（x）的极值点．

∵当-2＜x＜1或x＞1时，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．

∴g（x）的极值点是-2．

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，

令f′（x）＜0，解得0＜x＜，令f′（x）＞0，解得x＞，

所以f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；

（2）由（1）知f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞），

则（ⅰ）当0＜t＜t+2＜时，t无解；

（ⅱ）当0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，

f（x）在[t，]上递减，在[，t+2]上递增，

所以f（x）min=f（）=-；

（ⅲ）当≤t＜t+2，即t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，

所以f（x）min=f（t）=tlnt，

所以f(x)min=．

（Ⅰ）f'（x）=x（ax+2）eax．

（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．

若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；

若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．

（ii）当a＜0时，令f′(x)=0，得x(ax+2)=0，故x=0或x=-.

若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减；

若0＜x＜-，则f′(x)＞0，从而f(x)在(0，-)上单调递增；

若x＞-，则f′(x)＜0，从而f(x)在(-，+∞)上单调递减．

（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．

（ii）当-2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=ea．

（iii）当a≤-2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f(-)=.

f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．

（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，

进而2x+b≥0，即b≥-2x在[-1，+∞）上恒成立，所以b≥2．

故实数b的取值范围是[2，+∞）

（2）令f'（x）=0，得x=±．

若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，

所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．

因此b≤0．

现设b≤0，当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0；

当x∈（-∝，-）时，f'（x）＞0．

因此，当x∈（-∝，-）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥-且b≥-，

从而-≤a＜0，于是-＜b＜0，因此|a-b|≤，且当a=-，b=0时等号成立，

又当a=-，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2-），从而当x∈（-，0）时f'（x）g'（x）＞0．

故函数f（x）和g（x）在（-，0）上单调性一致，因此|a-b|的最大值为．