热门试卷

（1）由已知得x＞0且f(x)=2x-(-1)k•．

当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；

当k是偶数时，则f′(x)=．

所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．

故当k是偶数时，f （x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．…（4分）

（2）若k=2014，则f（x）=x2-2alnx．

记g（x）=f（x）-2ax=x2-2alnx-2ax，∴g′(x)=(x2-ax-a)，

若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；    

令g′（x）=0，得x2-ax-a=0．

因为a＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=．  

当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；

当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．

当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2）．    

因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．

则 

设函数h（x）=2lnx+x-1，

因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．

因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1，从而解得a=…（10分）

（3）证明：当k=2013时，问题等价于证明xlnx＞-(x∈(0，+∞))

由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-，当且仅当x=时取到，

设m(x)=-(x∈(0，+∞))，则m′(x)=，

∴m(x)max=m(1)=-，当且仅当x=1时取到，

从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞-成立．故命题成立．…（16分）

（1）当a=1时，f（x）=x3-3x2，则f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），

则k=f′（1）=-3，

∴切线方程为：y+2=-3（x-1），即3x+y-1=0；

（2）f（x）=ax3-3x2，得到f′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2），

∵x=1是f（x）的一个极值点，

∴f′（1）=0即3（a-2）=0，∴a=2；

（3）①当a=0时，f（x）=-3x2在区间（-1，0）上是增函数，则a=0符合题意；

②当a≠0时，f′（x）=3ax（x-），令f′（x）=0，则x1=0，x2=，

当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f′（x）＞0，则a＞0符合题意；

当a＜0时，当x∈（，0）时，f′（x）＞0，则≤-1，∴-2≤a＜0符合题意，

综上所述，a≥-2满足要求．

（1）∵f（x）=（x-1）2-4，x∈[0，1]

所以f（x）在[0，1]单调递减，

所以当x=0时函数最大为-3，当x=1时函数最小为-4

故f（x）值域为M=[-4，-3]（4分）

（2）∵g′（x）=3x2-3a2=3（x2-a2）

∵x∈[0，1]a≥1

∴x2-a2≤0即g′（x）≤0

∴g′（x）=x2-3a2x-2a在[0，1]上单调递减

故g（x）的值域为N=[1-2a-3a2，-2a]（8分）

（3）∵对任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]使f（x1）=g（x0）

∴M⊆N

∴

即

又∵a≥1

∴a∈[1，]（13分）

（1）f′(x)=x+-(3a+1)，

由已知f'（1）=3，即2a2-a=3，2a2-a-3=0，

解得a=或a=-1．…（2分）

又因为a＞0，所以a=．…（3分）

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（4分）

f′(x)=x+-(3a+1)==，

①当2a＞a+1，即a＞1时，

由f'（x）＞0得x＞2a或0＜x＜a+1，

因此函数f（x）的单调增区间是（0，a+1）和（2a，+∞）．

②当2a＜a+1，即0＜a＜1时，

由f'（x）＞0得x＞a+1或0＜x＜2a，

因此函数f（x）的单调增区间是（0，2a）和（a+1，+∞）．

③当2a=a+1，即a=1时f'（x）≥0恒成立（只在x=2a处等于0），

所以函数在定义域（0，+∞）上是增函数．…（7分）

综上：①当a＞1时，函数f（x）的单调增区间是（0，a+1）和（2a，+∞）；

②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间是（0，2a）和（a+1，+∞）；

③当a=1时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）．…（8分）

（3）当a=时，f(x)=+lnx-，

由（2）知该函数在(0，)上单调递增，

因此在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到．…（10分）

又f(1)=-=-5，

若要保证对任意x∈[1，2]，f（x）-b2-6b≥0恒成立，

应该有-5≥b2+6b，即b2+6b+5≤0，解得-5≤b≤-1，

因此实数b的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}．…（12分）

（1）依题意知函数的定义域为（0，+∞），因为f′(x)=x-，

①当a≤0时，f′(x)=x-＞0，所以f （x）的单调递增区间为（0，+∞）

②当a＞0时，因为f′(x)=x-==，

令f'（x）＞0，有x＞；所以函数f （x）的单调递增区间为（，+∞）；

令f'（x）＜0，有0＜x＜．所以函数f （x）的单调递减区间为(0，)．

（2）设g(x)=x3-x2-lnx，则g′(x)=2x2-x-，

当x＞1时，g′(x)=＞0，

所以g （x）在（1，+∞）上是增函数，所以g(x)＞g(1)=-＞0

所以当x＞1时，x2+lnx＜x3成立．

（Ⅰ）由已知得，f(x)=x3-ax2+b

由f'（x）=0，得x1=0，x2=a．∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，

∴当x∈[-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；

当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．

∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．

又f(1)=1-a+1=2-a，f(-1)=-1-a+1=-a，

∴f（-1）＜f（1）．，即-a=-2，得a=．

故a=，b=1为所求．

（Ⅱ）由（1）得f（x）=x3-2x2+1，f'（x）=3x2-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．

（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|x=2=4，

∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．

（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x0，y0）（x0≠2），

切线l的斜率k=f′(x)|x=x0=3-4x0，

∴l的方程为y-y0=（3x02-4x0）（x-x0）．

又点P（2，1）在l上，∴1-y0=（3x02-4x0）（2-x0），

∴1-（x03-2x02+1）=（3x02-4x0）（2-x0），

∴x02（2-x0）=（3x02-4x0）（2-x0），

∴x02=3x02-4x0，即2x0（x0-2）=0，∴x0=0．∴切线l的方程为y=1．

故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1．

（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，

所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）

（Ⅲ）F（x）=（3x2-3ax+6x+1）•e2x=[3x2-3（a-2）x+1]•e2x．

∴F'（x）=[6x-3（a-2）]•e2x+2[3x2-3（a-2）x+1]•e2x=[6x2-6（a-3）x+8-3a]•e2x．

二次函数y=6x2-6（a-3）x+8-3a的判别式为△=36（a-3）2-24（8-3a）=12（3a2-12a+11）=12[3（a-2）2-1]，

令△≤0，得：(a-2)2≤，2-≤a≤2+．

令△＞0，得a＜2-，或a＞2+．

∵e2x＞0，1＜a＜2，

∴当2-≤a＜2时，F'（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；

当1＜a＜2-时，此时方程F'（x）=0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．

（Ⅰ）由x+1＞0，得：f（x）定义域为（-1，+∞）…（2分）f′(x)=2[(x+1)-]=，x∈（-1，+∞）…（4分）

由f′(x)=＞0，x+1＞0得x＞0…（6分）

所以f（x）递增区间是[0，+∞）…（7分）

（Ⅱ）由f'（x）＜0，x+1＞0，得-1＜x＜0．所以f（x）递减区间是（-1，0）．…（9分）

∴f（x）在[-1，0)上递减，在[0，e-1]上递增．…（11分）

又f（-1）=+2，f（e-1）=e2-2，

且e2-2＞+2．

∴当x∈[-1，e-1]时，[f（x）]max=e2-2…（14分）

（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

f′（x）=2x+==，

①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上单调递增；

②当a＜时，f′（x）=0有两个解，x1=，x2=，且x1＜x2，

若x1＞-1，即0＜a＜时，-1＜x1＜x2，此时f（x）在（-1，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；

若x1≤-1，即a≤0时，x1≤-1＜x2，此时f（x）在（-1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；

（2）由（1）知：当0＜a＜时f（x）有两个极值点，x1=，x2=，x1＜x2，

则f（x2）=()2+aln（+1），令t=，0＜t＜1，a=，x2=，

f（x2）=()2+ln，令g（t）=()2+ln（0＜t＜1），g′（t）=-tln＞0，

所以g（t）在（0，1）上为增函数，所以g（0）＜g（t）＜g（1），即+ln＜g（t）＜0，

故f（x2）的取值范围为（+ln，0）．

（1）当b=1时，函数f（x）=x2-ax+bln（x+1），

其定义域为（-1，+∞）．∴f′(x)=2x-a+．

∵函数f（x）是增函数，∴当x＞-1时，∴f′(x)=2x-a+≥0恒成立．

即当x＞-1时，a≤2x+恒成立．

∵当x＞-1时，2x+=2(x+1)+-2≥2-2，

且当x=-1时取等号．∴a的取值范围为(-∞，2-2]．

（2）∵f′(x)=2x-a+，且函数f（x）在x=1处取得极值，

∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此时f′(x)=2x-a+=．

当=1，即a=6时，f'（x）≥0恒成立，

此时x=1不是极值点．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）

（3）由f′(x)=得

①当a＜2时，≤-1．∴当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；

当x＞1时，f′（x）＞0．∴当a＜2时，

f（x）的单调递减区间为（-1，1），单调递增区间为（1，+∞）．

②当2＜a＜6时，-1＜＜1．

∴当-1＜x＜，或x＞1时，f'（x）＞0；

当＜x＜1时，f'（x）＜0；

∴当2＜a＜6时，f（x）的单调递减区间为(，1)，

单调递增区间为(-1，)，（1，+∞）．

③当a＞6时，＞1．∴当-1＜x＜1，或x＞时，f'（x）＞0；

当1＜x＜时，f'（x）＜0；

∴当a＞6时，f（x）的单调递减区间为(1，)，

单调递增区间为(-1，1)，(，+∞)．

综上所述：∴当a＜2时，f（x）的单调递减区间为（-1，1），

单调递增区间为（1，+∞）；

当2＜a＜6时，f（x）的单调递减区间为(，1)，

单调递增区间为(-1，)，(1，+∞)；

当a＞6时，f（x）的单调递减区间为(1，)，

单调递增区间为(-1，1)，(，+∞)．