热门试卷

（Ⅰ）g′（x）=3x2+2ax-1

由题意3x2+2ax-1＞0的解集是（-，1），即3x2+2ax-1=0的两根分别是-，1

将x=1或-代入方程3x2+2ax-1=0得a=-1，

∴g（x）=x3-x2-x+2

（Ⅱ）由题意知，2xlnx≤3x2+2ax-1+2在x∈（0，+∞）上恒成立

即a≥lnx-x-，

设h（x）=lnx-x-，则h′(x)=-+=-

令h′（x）=0，得x=1，x=-（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0

∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2，．

∴a≥-2，即a的取值范围是[-2，+∞）．

（1）∵函数f（x）=+lnx-1，（x＞0），∴f′(x)=-+=，

①当a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；

②当a＞0时，当x＞a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜a时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

（2）①若a≥e，由（1）可知：函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，因此当x=e时，函数f（x）取得最小值f（e）=．

②若0＜a＜e，由（1）可知：函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，e）上单调递增，因此当x=a时，函数f（x）取得极小值，即最小值f（a）=lna．

（3）∵当0＜x≤e时，∴g′(x)=-=＞0，∴g（x）在区间（0，e]上单调递增，∴g（x）≤g（e）=-3．

由（2）可知：对于函数f（x），当0＜x≤e，0＜a＜e时，函数f（x）取得最小值f（a）=lna．

因此要使∃x1∈（0，e]，x2∈（0，e]，使g（x1）=f（x2），则必须g（x）max≥f（x）min，即-3≥lna，

解得0＜a＜，

∴a的取值范围是(0，)．

（1）∵g（x）=，

∴g′（x）=-．

∴g′（1）=-1，又g（1）=1，

∴函数g（x）在x=1处的切线方程为y-1=-（x-1），即y=-x+2．

（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）=0，得x=e1-a，

当x∈（0，e1-a）时，f′（x）＞0，f（x）在∈（0，e1-a]上是增函数；

当x∈（e1-a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在∈[e1-a，+∞）上是减函数；

∴函数f（x）的单调递增区间为（0，e1-a]，单调递减区间为[e1-a，+∞），极大值为f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1，无极小值．

（3）令F（x）=f（x）-g（x）=，则F′（x）=．

令F′（x）=0得x=e2-a；令F′（x）＞0，得0＜x＜e2-a；令F′（x）＜0，得x＞e2-a．

故函数F（x）在区间（0，e2-a]上是增函数，在区间[e2-a，+∞）上是减函数．

①当e2-a＜e2，即a＞0时，函数F（x）在区间（0，e2-a]上是增函数，在区间[e2-a，e2]上是减函数．

∴F（x）max=F（e2-a）=ea-2，

又F（e1-a）=0，F（e2）=＞0．

∴当0＜x＜e1-a时，F（x）＜0；

当e1-a＜x≤e2时，F（x）＞0；

此时函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e2]上有一个公共点．

②当e2-a≥e2，即a≤0时，函数F（x）在区间（0，e2]上是增函数，F（x）max=F（e2）=．

若F（x）max=F（e2）=≥0，即-1≤a≤0时，e1-a≤e2，

∵F（e1-a）=0，所以函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e2]上有一个公共点；

若F（x）max=F（e2）=＜0，即a＜-1时，函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e2]上没有公共点．

综上，实数a的取值范围是[-1，+∞）．

（I）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=

①若f′（x）≥0，则ax2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥=在（0，+∞）上恒成立，∵≤1，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；

②若f′（x）≤0，则ax2-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即a＜=在（0，+∞）上恒成立，∵＞0，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；

综上，a≥1或a≤0；

（II）g（x）=在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]．

①a≤0时，函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时f（x）max=f（1）=0，不合题意；

②a≥1时，函数f（x）在[1，e]上是增函数，由题意，f（e）＞g（e）

∴a(e-)-2＞2

∴a＞；

②当0＜a＜1时，∵x-≥0∴f（x）=ax-2lnx-≤x--2lnx≤e--2＜2，不合题意

综上，a＞．

（1）a=0时，f(x)=lnx+f′(x)=-=，

当0＜x＜1时f'（x）＜0，此时函数f（x）递减．

当x＞1时，f'（x）＞0，此时函数f（x）递增．

∴f（x）在（0，1）单减，在（1，+∞）单增．

∴x=1时f（x）有最小值1…（6分）

（2）f′(x)=-+a=，

∵f（x）在[2，+∞）为增函数，∴f'（x）≥0恒成立，

则≥0x≥2恒成立，∴a≥()2-最大值…（9分）

令g(x)=()2-=(-)2-，

则x≥2时，则0＜≤-≤g(x)＜0，

∴a≥0…（13分）

（1）记线路A、线路B正常工作的概率分别为P（A）、P（B）

P（A）=P（j1）P（j2）=t2 P（B）=t

系统正常工作的概率P=1-P()•P()=1-(1-t2)(1-t)=-t3+t2+t

（2）P'（t）=-3t2+2t+1=-（3t+1）（t-1）

∵当0＜t＜1时，P'（t）＞0

∴P（t）在（0，1）上单调递增

∴P（t）在开区间（0，1）上不存在最值

（Ⅰ）∵x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点，

f′（x）=2-+，

∴f′（1）=0，即2-b+1=0，

∴b=3，经检验，适合题意，

∴b=3．

（II）由f′（x）=2-+＜0，

得＜0，∴-＜x＜1，

又∵x＞0（定义域），

∴函数的单调减区间为（0，1]．

（III）g（x）=f（x）-=2x+lnx，

设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），

∴=g′(x0)，

即2x0+lnx0-5=（2+）（x0-2），

∴lnx0+-5=（2+）（x0-2），

∴lnx0+-2=0，

令h（x）=lnx+-2，

h′(x)=-=0，∴x=2．

∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

∵h（）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e2）=＞0，

∴h（x）与x轴有两个交点，

∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．

（1）由f（x）=x3-ax求导数得到f'（x）=3x2-a．

（i）当a≤0时，f'（x）≥0，则f（x）在R上单增．

（ii）当a＞0时，f′(x)=3(x-)(x+)．

则f(x)在[，+∞)和(-∞，-]上单调递增；

在[-，+]上单调递减．…（5分）

（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x0，y0），

则y-y0=（3x02-a）（x-x0），即y=（3x02-a）x-2x03

则y=（3x02-a）x-2x03过P（1，-2），

∴-2=3x02-a-2x03，即2x03-3x02+a-2=0．

由题意知关于x0的方程

2x03-3x02+a-2=0有两个不等的实根．

令g（x）=2x3-3x2+a-2，

则g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）．

于是g（x）极小=g（1）=a-3，

g（x）极大=g（0）=a-2．

方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根．

∴或

∴a=3或a=2

∴所求a的取值范围为[2，3]．…（13分）

（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2-lnx，

∴f′（x）=2x-，∴g′（1）=1，又f（1）=1

曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．

（II） f′(x)=2x+a-=≤0在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax-1，有 得 ，

得 a≤-

（II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-=

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=（舍去），

②当 0＜＜e时，g（x）在 (0，)上单调递减，在 (，e]上单调递增

∴g(x)min=g()=1+lna=3，a=e2，满足条件．

③当 ≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=（舍去），

综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．