热门试卷

（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx-lnx（a，b∈R）

知f′（x）=2ax+b-

又a≥0，

故当a=0时，f′（x）=

若b=0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数、

所以函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），

当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax2+bx-1=0

由于△=b2+8a＞0，故有

x2=，x1=

显然有x1＜0，x2＞0，

故在区间（0，）上，导数小于0，函数是减函数；在在区间（，+∞）上，导数大于0，函数是增函数

综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）

（II）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，

由（1）知，是函数的唯一极小值点故=1

整理得2a+b=1，即b=1-2a

令g（x）=2-4x+lnx，则g′（x）=

令g′（x）==0得x=

当0＜x＜时，g′（x）＞0，函数单调递增；

当＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减

因为g（x）≤g（）=1-ln4＜0

故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b

（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）

∵f（x）=x2+2x+alnx

∴f′(x)=（x＞0），

设g（x）=2x2+2x+a，则g（x）=(x+

1

2

)2-+a，

∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调增函数，

∴g（0）≥0，或g（1）≤0，

∴a≥0，或2+2+a≤0，

∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤-4}．

（2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为2t2-4t+2≥alnt2-aln（2t-1）

∴2t2-alnt2≥2（2t-1）-aln（2t-1）

令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t2）≥h（2t-1）

∵t≥1，∴t2≥2t-1

要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可

即g′(x)=2-≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2

∴实数a的取值范围是（-∞，2]．

（1）x＞0时，f（x）=（x2-2ax）ex，

∴f'（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex，

由已知，f′（）=0，∴[2+2（1-a）-2a]e2=0，

∴2+2-2a-2a=0，∴a=1，

∴x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，

∴f'（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex．

令f'（x）=0得x=（x=-舍去）

当x＞0时，

∴当 x∈（0，）时，f（x）单调递减，当 x∈（，+∞），f（x）单调递增，

∴x＞0时，f（x）∈（（2-2）e2，+∞）

要使方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．

①当b＞0时，m=0或 m=（2-2）e2；

②当b=0时，m∈（（2-2）e2，0）；

③当b＜0时，m∈（（2-2）e2，+∞）

（2）x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，f'（x）=（x2-2）ex，∴f（2）=0，f'（2）=2e2．

函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e2（x-2），

∵直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x0，y0），x0∈[e-1，e]，∴y0=clnx0+b，g′(x)=

∴切线l的斜率为 g′（x0）=

∴切线l的方程为：y-y0=（x-x0），即y=x-c+b+clnx0，

∴，∴

∴b=2e2（x0-x0lnx0-2），其中x0∈[e-1，e]

记h（x0）=2e2（x0-x0lnx0-2），其中x0∈[e-1，e]，h'（x0）=-2e2lnx0，

令h'（x0）=0，得x0=1．

又h（e）=-4e2，h（e-1）=4e-4e2＞-4e2．

∵x0∈[e-1，e]，∴h（x0）∈[-4e2，-2e2]，

∴实数b的取值范围为：{b|-4e2≤b≤-2e2}．

（1）∵函数f(x)=x3-ax2-x+1(a∈R)，

∴f′（x）=x2-2ax-1，

∵函数f（x）在x=x1，x=x2处取得极值，

∴x1+x2=2a，x1•x2=-1，

∵|x1-x2|=2，

∴==2，

∴a=0．

∴f′（x）=x2-1，

由f′（x）=x2-1＞0，得x＜-1，或x＞1；

由f′（x）=x2-1＜0，得-1＜x＜1，

∴f（x）在（-∞，-1）增，在（-1，1）减，在（1，+∞）增．

（2）设 F（x）=f（x）-g（x），

∵f(x)=x3-ax2-x+1(a∈R)，

g(x)=x2-(2a+1)x+，（-2≤x≤0），

∴F（x）=x3-(a+)x2+2ax+，

∴F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a），

∵0＜a＜，-2≤x≤0，

∴F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a）＞0，

F（x）在[-2，0]上是增函数，

∵F（-2）=--4a-2-4a+＜0，

F（0）=＞0，

∴曲线f（x）与g(x)=x2-(2a+1)x+，（-2≤x≤0）的交点个数是1个．

（1）f（x）的定义域是R，f′（x）=3x2-6ax+3，

当a=2时，f′（x）=3x2-12x+3=3（x2-4x+1），令f′（x）＞0，可得x2-4x+1＞0

解得：x＜2-或x＞2+

∴f（x）的单调增区间是(-∞，2-)和(2+，+∞)；

（2）∵f′（x）=3x2-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．

∴由3x2-6ax+3=0可得a=(x+)，

令g（x）=(x+)，求导函数可得g′（x）=(1-)

∴g（x）在（2，3）上单调递增，

∴＜(x+)＜，

∴＜a＜，此时满足△＞0，

故a的取值范围是＜a＜．

（I）f(x)=ln+mx=ln(1+2x)+mx(x＞-)，

∴f′(x)=+m．

对x＞-，＞0，故不存在实数m，

使f′(x)=+m＜0对x＞-恒成立，

由f′(x)=+m≥0对x＞-恒成立得，

m≥-对x＞-恒成立

而-＜0，故m≥0

经检验，当m≥0时，f′(x)=+m＞0对x＞-恒成立

∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．

（II）证明：当m=1时，令g(x)=f(x)-x=ln(1+2x)-x

g′(x)=-=，

在[0，1]上总有g′（x）≥0，

即g（x）在[0，1]上递增

∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b），

即f(a)-a＞f(b)-b⇒＞．

令h(x)=f(x)-2x=ln(1+2x)-x，

由（2）知它在[0，1]上递减，

∴h（a）＜h（b）

即f(a)-2a＜f(b)-2b⇒＜2

综上所述，当m=1，且1≥a＞b≥0时，＜＜2．

（Ⅰ）f′(x)=+a，因为x=0是f（x）的一个极值点，∴f'（0）=0，∴a=0验证知a=0符合条件．------------2分

（Ⅱ）因为f′(x)=+a=

1）若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；

2）若得，当a≤-1时，f′(x)≤0对x∈R恒成立，∴f（x）在R上单调递减；

3）若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0∴＜x＜∴f(x)在(，)上单调递增，

在(-∞，)和(，+∞)上单调递减；

综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，

若-1＜a＜0时，f(x)在(，)上单调递增，(-∞，)和(，+∞)上单调递减

若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．---------8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减

当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x2）＜x

∴ln[(1+)(1+)(1+)…(1+)]=ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)＜+++…+==(1-)＜1

∴(1+)(1+)…(1+)＜e---------------------13分

（1）因为f'（x）=3x2+ax+1，若△=a2-12＜0，即-2＜a＜2时，都有f'（x）＞0，此时函数在R上单调递增．

若△=0，即a=±2时，f'（x）≥0，所以此时函数在R上单调递增．

若△＞0，显然不合题意，

综上若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围[-2，2]．

（2）设t=ex，则t∈[1，2]，h（t）=t2-at=(t-)2-，

当-≤≤1，即-2≤a≤2时，h（t）在[1，2]上是增函数，所以当t=1时，h（t）的最小值为h（1）=1-a，也是最小值．

当1＜≤，即2＜a≤2时，h（t）的最小值为h（2）=12-2a．

（3）集合A，B之间的关系为B是A的真子集．

证明如下：当a=0时，f（x）=x3+x+1，f'（x）=3x2+1≥1，故A=[1，+∞）．

设PQ的斜率为k，则k==+x1x2++1=(x1+

x2

2

)2++1，

若(x1+

x2

2

)2+=0，当且仅当，即x1=x2=0，这与已知x1≠x2矛盾，

所以(x1+

x2

2

)2+＞0，由此可得k＞1，所以B=（1，+∞），

即B是A的真子集．