热门试卷

（1）由已知得，f′(x)=（2分）

令f'（x）＞0，得2cosx+1＞0，即cosx＞-，

解得x∈(-+2kπ，+2kπ)（4分）

令f'（x）＜0，得2cosx+1＜0，即cosx＜-，

解得x∈(+2kπ，+2kπ)（6分）

故单增区间为(-+2kπ，+2kπ)，

单减区间为(+2kπ，+2kπ)．（k∈Z）

（2）令F(x)=f(x)-x，

则F(x)=-xF′(x)=-=，（8分）

故对于∀x≥0，都有F'（x）≤0因而F（x）在[0，+∞）上递减，（10分）

对于∀x≥0，都有F（x）≤F（0）=0

因此对于∀x≥0，都有f(x)≤x（12分）

（1）α=时，f(x)=ax2-x．

①当a=0时，f(x)=-x，不合题意；[1，2]⊆[，+∞)

②当a＜0时，f(x)=ax2-x在(-∞，]上递增，在[，+∞)上递减，而，故不合题意；

③当a＞0时，f(x)=ax2-x在(-∞，]上递减，在[，+∞)上递增，

f（x）在[1，2]上的最大值是max{f（1），f（2）}=f（2），所以f（1）≤f（2），即a-≤2a-3，所以a≥1．

综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．

（2）a=1时，F(x)=x2-2xsin2α+lnx定义域为（0，+∞），F/(x)=x+-2sin2α≥2-2sin2α=2cos2α≥0．

①当cosα≠0时，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上单调递增，从而F（x）在其定义域内没有极值；

②当cosα=0时，F/(x)=x+-2=，令F′（x）=0有x=1，但是x∈（0，1）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）也单调递增，所以F（x）在其定义域内也没有极值．

综上，F（x）在其定义域内没有极值．

（3）据题意可知，令F/(x)=ax+-2sin2α=0，即方程ax2-2xsin2α+1=0在（0，+∞）上恒有两个不相等的实数根．即恒成立，因为α∈[，π)，sinα∈[，1]，所以0＜a＜．

（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax2+x，

f′（x）=--2ax+1=-．…（2分）

令△=1-8a．

当a≥时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．…（4分）

当0＜a＜时，△＞0，方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1，x2，

不妨设x1＜x2，

则当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＜0，

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，

这时f（x）不是单调函数．

综上，a的取值范围是[，+∞）．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x1和极大值点x2，

且x1+x2=，x1x2=．

f（x1）+f（x2）=-lnx1-ax12+x1-lnx2-ax22+x2

=-（lnx1+lnx2）-（x1-1）-（x2-1）+（x1+x2）

=-ln（x1x2）+（x1+x2）+1=ln（2a）++1．…（9分）

令g（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，

则当a∈（0，）时，g′（a）=-=＜0，g（a）在（0，）单调递减，

所以g（a）＞g（）=3-2ln2，即f（x1）+f（x2）＞3-2ln2．…（12分）

（Ⅰ）由奇函数的定义，应有f（-x）=-f（x），x∈R

即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d∴d=0

因此，f（x）=ax3+cx  f'（x）=3ax2+c

由条件f（1）=-2为f（x）的极值，必有f'（1）=0，故

解得a=1，c=-3因此，f（x）=x3-3x，

（II）f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）

当x∈（-4，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（-4，-1）上是增函数

当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数

当x∈（1，5）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，5）上是增函数

（1）证明：y=+ey′=由y′==2得x=e（2分）

在C1上点（e，2e）处的切线为y-2e=2（x-e），即y=2x（3分）

又在C2上点（e，2e）处切线可计算得y-2e=2（x-e），即y=2x

∴直线l与C1、C2都相切，且切于同一点（e，2e）（4分）

（2）f(t)=+e-2t-(2t-2elnt)=+2elnt-4t+ef′(t)=+2e-4==≥0（6分）

∴f（t）在[e-3，e3]上递增

∴当t=e3时f(t)max=+2elne3-4e3+e=e5-4e3+7e（8分）

（3）AnBn=+e-2elnen=+e-2ne

设上式为g（n），假设n取正实数，则g′(n)=•lne2-2e=

当n∈（0，1）时，g′（n）＜0，∴g（n）递减；

当n∈（1，+∞），g′（n）＞0，∴g（n）递增．（12分）

g(0)=A0B0=e+g（1）=2e-2e=0g(2)=e3+e-4e=e3-3e≈2.72e-3e＞2e＞e+

∴不存在正整数n，使得g（m）=g（0）

即AnBn=A0B0．（14分）

（1）(－∞，－1]（2）(－∞，0]

(1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x..

由于x∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等号不能同时取得，所以ln x＜x，x－ln x＞0.

从而a≤恒成立，a≤min.(4分)

设t(x)＝，x∈[1，e]．求导，得t′(x)＝.(6分)

x∈[1，e]，x－1≥0，ln x≤1，x＋2－2ln x＞0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数．

所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]．(8分)

(2)F(x)＝

设P(t，F(t))为曲线y＝F(x)上的任意一点．

假设曲线y＝F(x)上存在一点Q(－t，F(－t))，使∠POQ为钝角，

则＜0.(10分)

①若t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))，＝－t2＋aln(－t)·(－t3＋t2)．

由于＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.

当t＝－1时，a(1－t)ln(－t)＜1恒成立．

当t＜－1时，a＜恒成立．由于＞0，所以a≤0.(12分)

②若－1＜t＜1，且t≠0，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，t3＋t2)，则＝－t2＋(－t3＋t2)·(t3＋t2)＜0，

即t4－t2＋1＞0对－1＜t＜1，且t≠0恒成立．(14分)

③当t≥1时，同①可得a≤0.

综上所述，a的取值范围是(－∞，0]．(16分)

（1）当p=2时，函数f(x)=2x--2lnx，

f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+-，

曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．

从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．

（2）f′(x)=p+-=．

令h（x）=px2-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，

只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．

由题意p＞0，h（x）=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x=∈(0，+∞)，

∴h(x)min=p-，只需p-≥0，

即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．

（1）f(x)min＝（2）a≤4（3）见解析

(1)解：f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

①当0时，t无解；②当0时，f(x)min＝f＝－；

③当≤t时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt，

所以f(x)min＝.

(2)解：由题意，要使2xlnx≥－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．

设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－.

当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．

所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，

即[h(x)]min＝h(1)＝4，所以a≤4.

(3)证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．

由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，

当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，

易得[m(x)]max＝m(1)＝－，

当且仅当x＝1时取得，

从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立

（I）①当时，递增区间是；②当时，递增区间是，递减区间为；（Ⅱ）（i）实数的取值范围为；（ii）详见试题解析．

试题分析：（I）首先求函数的定义域，再求的导数，令下面分和讨论求函数的单调区间；（Ⅱ）（i）先由已知条件，将问题转化为设求函数的导数：，由此讨论可得在上为减函数，从而求得实数的取值范围；（ii）先根据已知条件把化简为，只要证设，构造函数利用导数可得在上单调递减，在上单调递增，最终证得．

试题解析：（I）解：函数的定义域为令

①当时，在上恒成立，∴递增区间是；

②当时，由可得，∴递增区间是，递减区间为．                                    （6分）

（Ⅱ）（i）解：设则．

∵在上恒成立，∴在上为减函数，∴实数的取值范围为．                              （10分）

（ii）证明：

．设，则．

令，得，在上单调递减，在上单调递增

．               （15分）