热门试卷

（I）∵函数f（x）=x3+bx2+cx，

∴f′（x）=3x2+2bx+c，

∵函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处取得极小值-2，

∴，

解得b=0，c=-3．…3 分

∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2-3=3（x-1）（x+1），

∴当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；

当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，

∴（-∞，-1），（1，+∞）是单调递增区间，（-1，1）是单调递减区间．…6 分

（II）y=f（x+μ）-v

=（x-μ）3-3（x-μ）-v，

由方程组，

得3μx2+3μ2x+μ3-3μ-v=0至多有一个实根，…8 分

∴△=9μ4-12μ（μ3-3μ-v）≤0，

∴-μ3+12μ+4v≤0，

∴v≤μ3-3μ当u＞0时恒成立．…10 分

令g(μ)=μ3-3μ，(μ＞0)，

则g′(μ )=μ2-3

=(μ-2)(μ+2)，

由此知函数g（μ）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，

所以当μ=2时，函数g（μ）取最小值，即为-4，于是v≤-4．…13 分

（Ⅰ）函数y=+g(x)=4lnx+x2-6x+1，（x＞0），

∴y′=+2x-6==，

令y′＞0，解得0＜x＜1或x＞2，

∴函数y=+g(x)的单调递增区间是（0，1）和（1，+∞）．

（II）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=．

当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）在(0，)上单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）在(0，)上单调递增．

①当0＜t＜时，x∈[t，)时，函数f（x）单调递减；x∈(，t+2]，函数f（x）单调递增，

因此当x=时，f（x）取得极小值，也即最小值，且f()=ln=-．

②当t≥时，f（x）在区间[t，t+2]内单调递增，因此x=t时，函数f（x）取得最小值，且f（t）=tlnt．

（Ⅲ）方程lnx=-（其中e=2.718…）⇔xlnx=-（x＞0）．

令u（x）=xlnx，v（x）=-．（x＞0）．

由（II）可知：u（x）在x=时取得极小值，也即最小值-．

v′(x)==，当0＜x＜1时，v′（x）＞0，函数v（x）单调递增；当1＜x时，v′（x）＜0，函数v（x）单调递减．

因此当x=1时，v（x）取得极大值，也即最大值v（1）=-=-．

而当x=1时，u（1）=0＞-=v（1），故方程lnx=-（其中e=2.718…）无实数解．

（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．

∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．

∴f′（x）=lnx，

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）内单调递减；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）内单调递增．

∴函数f（x）在x=1时取得极小值．

（II）由题意可得：xlnx-ax2-x＜-x，

∴xlnx-ax2＜0，

∵x＞0，∴a＞．

设h（x）=，则h′（x）=，

令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在区间（0，e）上单调递增；

令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在区间（e，+∞）上单调递减．

∴h（x）在x=e时取得极小值，即最小值，h（e）=．

∴a＞．

（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上单调递减，

∴h（x）＞h（x+1），

∴＞，化为lnxx+1＞ln（x+1）x，

∴xx+1＞（x+1）x，

令x=2012，可得2012201′3＞20132012．

解 （1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=-a=．    

因为当x=1时，函数f（x）取得极值，

所以f′（1）=1-a=0，解得a=1．

经检验，a=1符合题意．

（2）f′（x）=-a=，x＞0．

令f′（x）=0得x=．因为x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，

①当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=-a；

②当1＜＜2，即＜a＜1时，f（x）在（1，）上递增，在（ ，2）上递减，

所以x=时，f（x）取最大值f（）=-lna-1；

③当≥2，即0＜a≤时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a；

综上，①当0＜a≤时，f（x）最大值为ln2-2a；②当＜a＜1时，f（x）最大值为-lna-1．

③当a≥1时，f（x）最大值为-a．

f'（x）=3x2-6x-9…2分

令 f'（x）=0，解得x1=-1，x2=3．                                …4分

列表讨论f（x）、f'（x）的变化情况：

…7分

所以，f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）、（3，+∞）；f（x）的单调递减区间为（-1，3）；                                   …8分

当x=-1时，f（x）的极大值是f（-1）=6；

当x=3时，f（x）的极小值是f（3）=-26．                         …9分．

（1）f'（x）=3x2-3a，

∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，

∴⇒⇒

（2）∵f（x）=x3-27x+1，∴f'（x）=3x2-27，令f'（x）=0，则x=±3，即：

则函数f（x）=x3-27x+1的单调增区间是：（-∞，-3），（3，+∞）

单调减区间是：（-3，3）

x=-3是极大值点，极大值为f（-3）=55；

x=3是极小值点，极小值为f（3）=-53．

（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a

①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数    …（1分）

②当a＞0时，f（x）在(-1，e1-aa-1]上递增，在[e1-aa-1，+∞)单调递减．…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减

又f(0)=0，f(1)=1-ln4，f(-)=-+ln2

∴f(1)-f(-)＜0

∴当t∈[-，+ln2，0)时，方程f（x）=t有两解   …（8分）

（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），

只需证：＜

设g(x)=，(x＞0)，则g/(x)==…（10分）

由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减    …（12分）

∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n

∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          …（14分）

（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a

①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数    …（1分）

②当a＞0时，f（x）在(-1，e1-aa-1]上递增，在[e1-aa-1，+∞)单调递减．…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减

又f(0)=0，f(1)=1-ln4，f(-)=-+ln2

∴f(1)-f(-)＜0

∴当t∈[-，+ln2，0)时，方程f（x）=t有两解   …（8分）

（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），

只需证：＜

设g(x)=，(x＞0)，则g/(x)==…（10分）

由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减    …（12分）

∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n

∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          …（14分）

（1）∵f(x)=x3-2ax2-3x，∴f'（x）=2x2-4ax-3．

则过P（1，t）的切线斜率为k=f′（1）=-1-4a．（2分）

又∵它与直线x-2y+b=0垂直，∴-1-4a=-2，即a=，．（4分）

∴f(x)=x3-x2-3x又∵P（1，t）在f（x）的图象上，∴t=-（6分）

（2）∵函数f（x）在（-1，1）内是减函数

∴f'（x）=2x2-4ax-3≤0对于一切x∈（-1，1）恒成立．（8分）

∵二次函数f'（x）的图象开口向上，

∴（10分）

∴-≤a≤（12分）