热门试卷

（1）（2）

（1）设

据题意知为锐角，所以，从而. 

由于，

所以            

因为，且AE+EB=6，       

所以，即

因为F点在BC上，所以，即，亦即，

所以，即，解得.              

于是有，即.

故函数f(t)的定义域为            8分

（2） 由（1）得

令，则由 ， 得： 

因此当时，单调增，当时，单调减.

即时，取最大值，f(t)取最小值       14分

【命题意图】本题考查函数的定义域,值域，二倍角公式，利用导数求函数最值等知识 ，意在考查学生的抽象概括能力，运算求解能力．

（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；

（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，， 方程有且只有一个根，又的值域为，;

（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，

则有，，又，

即，同理，又，，且在上单调递减，

，即.

试题解析：（1），令，即，解得，

令，即，解得，或，

的递增区间为，递减区间为和.        4分

（2）由（1）知，，    6分

方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知

                        8分

（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，

则有，，又，

即，                         11分

，又，，且在上单调递减，

，即.                      13分

（1）当a=0时，f（x）=（x2+3）ex，∴f′（x）=（x2+2x+3）ex，∴f′（1）=6e，

而f（1）=4e，∴函数f（x）的图象在A（1，f（1））处的切线方程为y-4e=6e（x-1），化为y=6ex-2e．

（2）∵f′（x）=[x2+（a+2）x+a+3]ex，及函数y=f（x）为单调函数，

∴△=（a+2）2-4（a+3）≤0，解得-2≤a≤2．

（3）当a=-3时，f（x）=（x2-3x+3）ex，

∴f′（x）=（x2-x）ex=x（x-1）ex，

令f′（x）=0，解得x=0，1．

列表如下：

由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值，

且f（1）=e．

（Ⅰ）f′（x）=（x-k+1）ex，

令f′（x）=0，得x=k-1，

f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

∴f（x）的单调递减区间是（-∞，k-1），f（x）的单调递增区间（k-1，+∞）；

（Ⅱ）当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，

∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=-k；

当0＜k-1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，1]上单调递增，

∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k-1）=-ek-1；

当k-1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，

∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1-k）e；

综上所述f（x）min=．

（1）f′（x）=x（x-1），

∴函数f（x）在（-∞，0）及（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；

（2）f′（x）=（x-a）（x-1），

由f（1）=a-＞0，f（a）=-a3+a2＜0，

解得a＞3；

（3）①当a＞1时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是g（-1）=2a+2

②当-1＜a＜1时，0＜＜1，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是

max{g（-1），|g（）|}=max{2a+2，}

解不等式2a+2-＞0，得5-4＜a＜5+4

∴当-1＜a＜5-4时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是，

当5-4≤a＜1时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是2a+2．

综上M（a）=．

（1）f′（x）=ex-，…（2分）

当x≥0时，ex≥1，≤1，所以当x≥0时，f′（x）≥0，

则函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）的最小值f（0）=0；…（5分）

（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）＞0，

∵x＞y，

∴f（x-y）=ex-y-ln（x-y+1）-1＞0，ex-y-1＞ln（x-y+1）①…（7分）

∵ln(x-y+1)-[ln(x+1)-ln(y+1)]=ln≥0，

∴ln（x-y+1）≥ln（x+1）-ln（y+1）②…（10分）

由①②得 ex-y-1＞ln（x+1）-ln（y+1）…（12分）

函数的导数f'（x）=3ax2-4x+1，

（1）函数图象过点（0，1）时，有f（0）=c=1．

当a=1时，f'（x）=3x2-4x+1，令f'（x）=3x2-4x+1＞0，解得x＜或x＞1．由f'（x）=3x2-4x+1＜0得，＜x＜1．

所以函数f（x）在（-∞，]，[1，+∞）上单调递增，在[，1]上单调递减，所以函数的最小值为f（1）=1-2×1+1+1=1．

（2）若f（x）在（-∞，+∞）上无极值点，则f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，即f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立．

①当a=0时，f'（x）=-4x+1，显然不满足条件．

②当a≠0时，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立的充要条件是△≤0，

即（-4）2-4×3a×1≤0，即16-12a≤0，解得a≥．

综上，a的取值范围为[，+∞）．

（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1．

当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．

故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加

（II）f′（x）=ex-1-2ax

由（I）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

从而当1-2a≥0，即a≤时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是当x≥0时，f（x）≥0．

由ex＞1+x（x≠0）可得e-x＞1-x（x≠0）．

从而当a＞时，f′（x）＜ex-1+2a（e-x-1）=e-x（ex-1）（ex-2a），

故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．

综合得a的取值范围为(-∞，]．

（1）∵函数f(x)=x2-lnx(x＞0)，其中a为非零常数，

当a=1时，f（x）=x2-lnx

f′(x)=x-＞0，

∴当x＞1时，函数是一个增函数，

即函数的递增区间是（1，+∞）

（2）当x属于[1，2]，lnx＞0，

当a＞0时，命题可转化为对于任意x属于[1，2]，都有a＜

令g（x）=，对函数求导得g′(x)==0

∴x=e-32时，导数等于零，

经验证这是函数的极小值，

在这个闭区间上也是最小值，

∴g（x）的最小值是g（e-32）=e-3

即当a为大于0常数且小于e-3时，不等式f（x）＞2恒成立，

当a＜0时，＞在x属于[1，2]时，不合题意．

综上可知a的取值范围是（0，e-3）