热门试卷

（1）设切线的斜率为k，则k=f′（x）=2x2-4x+3=2（x-1）2+1，当x=1时，kmin=1．

把a=1代入到f（x）中得：f（x）=x3-2x2+3x，所以f（1）=-2+3=，即切点坐标为（1，）

∴所求切线的方程为y-=x-1，即3x-3y+2=0．

（2）f′（x）=2x2-4ax+3，因为y=f（x）为单调递增函数，则对任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞0，

f′（x）=2x2-4ax+3＞0，

∴a＜=+，而+≥，当且仅当x=时，等号成立．

所以a＜，则所求满足条件的最大整数a值为1．

（I）a=2，可得f(x)=+2x+lnx，

可得f′（x）=+2+=，（x＞0）

若f′（x）＞0，可得x＞，f（x）为增函数；

若f′（x）＜0，可得0＜x＜，f（x）为减函数；

函数f（x）的单调增区间：（，+∞]；

函数f（x）的单调减区间：（0，）；

（II）函数F（x）=f（x）-g（x）=+ax+lnx--3lnx

=+ax-2lnx-

F′（x）=+a-+=≥0，

在区间[1，+∞）上大于等于0，

等价于-1+ax2-2x+a+1≥0，

可得a≥，求y=的最大值即可，

因为y在[1，+∞）上为减函数，所以y≤=1，

∴a≥1；

（ III）令f（x）=2x+1+-x（x+1）ln2-ln2+3，（x≥1）

可得f′（x）=2x+1ln2--2xln2-ln2

=ln2（2x+1--2x-1），

令g（x）=2x+1--2x-1，

∴g′（x）=2x+1ln2+-2，x≥1，

可得g′（x）＞g′（1）=4ln2+-2＞0，

g（x）为增函数，g（x）＞g（1）=4--2-1=，

∴f（x）为增函数，

∴f（x）＞f（1）=4+-2ln2+3=-2ln2＞0，

∴2n+1+≥n(n+1)ln2+3，即证；

f′（x）=-3x2+2ax+b，（2分）

因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，

所以f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，（3分）

又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1．（4分）

（1）函数f（x）在x=-2时有极值，所以f'（-2）=-12-4a+b=0，（5分）

解得a=-2，b=4，c=-3，（7分）

所以f（x）=-x3-2x2+4x-3．（8分）

（2）因为函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=-3x2-bx+b

在区间[-2，0]上的值恒大于或等于零，（10分）

则得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）（14分）

（1）令g（x）=f（x）+x（x＞0），

因为g′(x)=f′(x)+1=≥0，

所以g（x）在（0，+∞）上递增，（3分）

所以g（x2）＞g（x1），

故＞-1．（5分）

（2）∵x∈（1，3）时，f（x）＞0恒成立，

当a≤1时，

f′(x)=x+-a-1＞2-a-1≥0

∴f（x）在（1，3）上递增，

所以f（x）＞f（1）=0满足条件．（8分）

当a＞1时，

令f′(x)＜0⇒0＜=x1＜x＜x2=，

∵f′（1）=1-a＜0，

∴x1＜1＜x2，

令b=min{x2，3}，则f（x）在（1，b）上递减，

所以f（x）＜f（1）=0，不合题意．（11分）

综上a的取值范围为{a|a≤1}．（12分）

（1）当a=2时，f（x）=x2-2x+ln(x+)，定义域为（-，+∞）．

f′（x）=2x-2+=2x-2+=．

由f′（x）＞0，得-＜x＜0，或x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜．

所以函数f（x）的单调递增区间为（-，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．

（2）y=f（x）的定义域为（-，+∞）．

f′（x）=2x-a+=2x-a+==．

当1＜a＜2时，-1==＜0，即＜1，

所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，

所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1-a+ln（a+）．

依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1-a2），

即可转化为对任意的a∈（1，2），1-a+ln（a+）-m（1-a2）＞0恒成立．

设g（a）=1-a+ln（a+）-m（1-a2）（1＜a＜2）．

则g′（a）=-1++2ma==，

①当m≤0时，2ma-（1-2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，

所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．

②当m＞0时，g′（a）=(a-)，

若≥2，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；

若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；

若≤1，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，

则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m≥，所以m的取值范围为[，+∞）．

（1）函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=

∵a＞0，∴f′（x）＞0

∴f（x）在定义域上单调递增；

（2）由（1）知，f′（x）=

①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数

∵f（x）在[1，e]上的最小值为，

∴f（x）min=f（1）=-a=，

∴a=-（舍去）

②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，

∴f（x）min=f（e）=1-=，∴a=-（舍去）．

③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a．

当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数；

当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，

∴f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1=，∴a=-．

综上可知：a=-．

与直线3x+7y+2=0垂直的直线的斜率为，

令f′(1)=，得b=4，

∵f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，

∴c=5，f′(x)=-2x+4，

由f′（x）=0，得x=，

当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；

当x∈(，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减．

∵f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，

所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5．

（1）因为f′（x）=（2x-3）ex+（x2-3x+3）ex，

由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1，

∴函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，

要使函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0，

（2）当-2＜t≤0时，f（x）在[-2，t]上单调递增，∴f(x)min=f(-2)=13e-2

当0＜t≤1时，f（x）在（-2，0）上单调递增，在（0，t）上单调递减

∵f（t）≥f（1）＞f（-2），∴f(x)min=f(-2)=13e-2

当t＞1时，f（x）在（-2，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，

同理f（t）≥f（1）＞f（-2），∴f(x)min=f(-2)=13e-2

综上：当f（x）在[-2，t]上的最小值为13e-2．

（I）f′(x)=（x＞0）

（1）a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增

（2）当a＜0时，由f′(x)＞0⇒x＜，由f′(x)＜0⇒x＞

考虑到x＞0，得f（x）在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减．

（II）a=0时，f(x)=lnx，k=，不等式x1＜＜x2⇔x1＜＜x2  ⇔1-＜ln＜-1，令=t(t＞1)，即证1-＜lnt＜t-1（8分）

由于t＞1，令g（t）=lnt+⇒g′(t)=-=＞0，所以g（t）＞g（1）=1，

即不等式lnt＞1-成立，令h(t)=lnt-t⇒h′(t)=-1＜0⇒h(t)＜h(1)=-1

即lnt＜t-1，所以，不等式1-＜lnt＜t-1成立，即得原不等式成立（14分）