热门试卷

（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞）（1分）f′(x)=-==0（2分）∴x=a（3分）

当a=0时，f'（x）＞0，∴f（x）的单调区间为（0，+∞）且f（x）在（0，+∞）上单调增（4分）

当a＞0时，x∈（o，a）时，f'（x）＜0x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0（5分）

所以f（x）的单调区间是（0，a），（a，+∞）且f（x）在（0，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增（6分）

（2）①当a=0时，f（x）=lnx有1个零点x=1（7分）

②当a＞0时，f（x）min=1+lna（8分）

当1+lna＞0，即a＞时无零点（9分）

当1+lna=0，即a=时有1个零点x=（10分）

当1+lna＜0，即0＜a＜时有2个零点（11分）

∵f（a）＜0，f（x）在（0，a）上单调减，且取x=(n∈N+)，当n＞-时，＜a，有f()=-na+aean＞a•(2an-n)=a[(2a)n-n]，当n足够大时f()＞0

∴f（x）在（0，a）上有1个零点（12分）

f（x）在（a，+∞）上单调增，且f（1）=a＞0

∴f（x）在（a，+∞）上有1个零点（13分）

所以当a=0或a=时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点；当a＞时，f（x）无零点．（14分）

对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）=ln．

令f′（x）=0，则=1，解得x=．

当0＜x＜，f′(x)=lnx-ln(1-x)＜0，f(x)在区间(0，)是减函数，

当1＞x＞，f′(x)=lnx-ln(1-x)＞0，f(x)在区间(，1)是增函数．

所以f(x)在x=时取得最小值，f()=-1．

（1）∵f'（x）=-a=∴

当a≥1时，f'（x）＜0，∴f（x）的递减区间为R

当0＜a＜1时，f'（x）＞0得：x＞lnf'（x）＜0得：x＜ln

∴f（x）的递增区间为（ln，+∞），递减区间为（-∞，ln）

（2）∵不等式f（x）＜m的解集为空集，即f（x）≥m在x∈[0，+∞）恒成立

又∵0＜a＜时，ln＜0，∴f（x）min=f（0）=ln2，∴m≤ln2

当≤a＜1时，由①可知：x=ln时，f（x）有极小值∴f（x）min=f（ln)=ln(1+elna1-a)-aln=ln-aln

∴m≤（a-1）ln（1-a）-alna

（3）当x＞1时，g（x）=f[ln（x-1）+aln（x-1）]=ln[1+eln（x-1）]-aln（x-1）+aln（x-1）=lnxg（)=ln=ln+ln+ln+…+ln

∴即证：ln+ln+ln+…+ln＜-1-2-3…-（n-1）=n-1-2…-（n-1）-n

令h（t）=lnt-1+，t∈（0，1），

∴h'（t）=-=＜0

∴h（t）为减函数

∵h（t）=0，∴h（t）＞0，即：lnt＞1-

当t分别取、、、…、（n≥2）时有

：ln＞1-2，ln＞1-3，ln＞n-1-2-3-…-（n-1）-n

∴ln＞-1-2-3-…-(n-1)=-

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），

当a=3时，f′（x）=1+-==，

令f′（x）=0，解得x=1或x=2，

当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，

所以当x=1时f（x）取得极大值f（1）=-1，当x=2时f（x）取得极小值f（2）=1-3ln2；

（Ⅱ）f′（x）=1+-=，

令g（x）=x2-ax+2，其判别式△=a2-8，

①当|a|≤2时，△≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当a＜-2时，△＞0时，g（x）=0的两根都小于0，所以在（0，+∞）上f′（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上单调递增；

③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为：x1=，x2=，且都大于0，

当0＜x＜x1或x＞x2时f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时f′（x）＜0，

故f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上递减，

综上，当a≤2时f（x）（0，+∞）上单调递增；当a＞2时，f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上递减；

（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=-a，（2分）

当a＞0时，f（x）的单调增区间为(0，)，减区间为(，+∞)；

当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；（6分）

（Ⅱ）g(x)=x3+[m-2f′(x)]=x3+(+a)x2-x，∴g'（x）=3x2+（m+2a）x-1，

∵g（x）在区间（a，3）上有最值，

∴g（x）在区间（a，3）上总不是单调函数，

又g′(0)=-1∴（9分）

由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a2+（m+2a）•a-1=5a2+ma-1＜0恒成立，∴m＜=-5a，因为a∈[1，2]，所以∴m＜-，

对任意a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞-∴-＜m＜-（12分）

（1）f′（x）=2x-=，

当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；

当a＞0时，令f′（x）＞0得x＞，∴f（x）在（，+∞）上为增函数；

令f′（x）＜0得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上为减函数，

综上：当a≤0时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；

当a＞0时，f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）．

（2）当a=时，g（x）=f（x）-x=x2-lnx-x，

g′（x）=2x--1==，

当x≥1时，2x+1≥0，x-1≥0，则g′（x）≥0，

故当x≥1时，g（x）为增函数，则g（x）≥g（1）=0，

则f（x）≥x．

（1）∵y=f（x）过点P（-1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直

∴⇒⇒．

（2）由题意得：f′（x）=3x2+6x=3x（x+2）＞0

解得x＞0或x＜-2．

故f（x）的单调递增为（-∞，-2]和[0，+∞）．

 即m+1≤-2或m≥0，

故m≤-3或m≥0．