热门试卷

（1）a=-1时，f(x)=2x+≥2当且仅当x=时取等号，

∴f（x）的值域为[2，+∞），

（2）f′(x)=2+=

当a＜0时，f′(x)=

①当＜1⇒-2＜a＜0时，f′(x)=0⇒x=

当x∈(0，)，f(x)单调递减，x∈(，1]，f(x)单调递增

∴x=时，f(x)min=2，无最大值．…（8分）

②当≥1，f′(x)＜0，f(x)单调递减，∴a≤-2时，x=1，f（x）min=2-a．

综上：-2＜a＜0，x=时，f(x)min=2，无最大值；a≤-2时，x=1时，f（x）min=2-a，无最大值．  …（12分）

（1）f（x）=mx3-3（m+1）x2+（3m+6）x+1，m＜0，

f′（x）=mx2-6（m+1）x+（3m+6）（m＜0）

因为f（x）的增区间是（0，1）

则f′（x）=3mx2-6（m+1）x+（3m+6）＞0的解集为（0，1）

所以f′（0）=3m+6=0，f′（1）=3m-6（m+1）+3m+6=0

解得m=-2                                             （4分）

（2）设M（x0，y0）为y=f（x）（-1≤x≤1）图象上任意一点

切线斜率K=f′（x）=3m-6（m+1）x0+（3m+6）＞3m，

即3m-6（m+1）x0+6＞0在x0∈[-1，1]，m＜0）则（g（x0））min＞0，

g（x0）=3m-6（m+1）x0+6的对称轴为x0==1+＜1

①当1+≤0即-1≤m＜0时，（g（x0））min=g（1）=-3m＞0，∴-1≤m＜0；

②当0＜1+＜1即m＜-1时，（g（x0））min=g（-1）=9m+12＞0，此时无解，

综上所述：m的取值范围：（-1，0）；

求导，f′(x)==，

又f（x）在x=1处取得极值2，

所以即，

解得

所以f(x)=．

（Ⅱ）因为f′(x)=，

又f（x）的定义域是R，所以由f'（x）＞0，

得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上单调递增，

在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递减．

    （1） 当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，

则解得-1＜m≤0；

    （2）当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递减，

则或解得m≥1．

综上，实数m的取值范围是-1＜m≤0或m≥1．

（Ⅰ）当a=-时，f(x)=-lnx++1，

∴f′(x)=+=．

∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f'（x）=0得x=1．---------------------------（3分）

∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f(1)，f()，f(e)取到，

而f(1)=，f()=+，f(e)=+，

∴f(x)max=f(e)=+，f(x)min=f(1)=．---------------------------（6分）

（Ⅱ）f′(x)=，x∈(0，+∞)．

①当a+1≤0，即a≤-1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；-------------（7分）

②当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；----------------（8分）

③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得x2＞，∴x＞或x＜-（舍去）

∴f（x）在(，+∞)单调递增，在(0，)上单调递减；--------------------（10分）

综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；

当-1＜a＜0时，f（x）在(，+∞)单调递增，在(0，)上单调递减．

当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；-----------------------（12分）

（Ⅰ）函数f（x）的导数为f'（x）=3x2-a，…（1分）

因为f（x）在区间[1，2]上是增函数，所以f'（x）≥0在区间[1，2]上恒成立．  （4分）

a≤3x2恒成立．因为当1≤x≤2时3x2≥3，可得a≤3．                       …（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x2-a，过点A（1，0）作曲线C的切线，

设切点（x0，f（x0）），则切线方程为：y=（3x0-a）（x-1）…（9分）

将（x0，f（x0））代入得：f(x0)=-ax0+a即2-3x0=0   （*）

解得x0=0或x0=         …（12分）

故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为-a与-a，

因为两条切线的倾斜角互补，所以-a+-a=0，解得a=．         …（14分）

（I）f'（x）=3x2-6（a-1）x-6a．

由f'（x）=0解得x1=-1+a-，x2=-1+a+.

当x∈（-∞，x1）或x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0；

当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0．

所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1+a-）和(-1+a+，+∞)

调递减区间为(-1+a-，-1+a+).

（II）由a≥0，知x1=-1+a-=-1-(-a)＜-1，x2=-1+a+=a+(-1)＞0，

则函数f（x）在[-1，2]上是单调函数

当且仅当[-1，2]⊆[x1，x2]，（9分）

即x2=a-1+≥2，解得a≥.

故a的取值范围是[，+∞).

（Ⅰ）可得f′(x)=．

当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当e＜x时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．

（Ⅱ）依题意，转化为不等式a＜lnx+对于x＞0恒成立

令g（x）=lnx+，则g'（x）=-=(1-)

当x＞1时，因为g'（x）=(1-)＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函数，

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的减函数，

所以g（x）的最小值是g（1）=1，

从而a的取值范围是（-∞，1）．

（Ⅲ）转化为lnx=x2+x-m，y=lnx与y=x2+x-m在公共点（x0，y0）处的切线相同

由题意知

∴解得：x0=1，或x0=-3（舍去），代入第一式，即有m=．