热门试卷

（Ⅰ）函数的导数为f'（x）=a（x-2）2+2（x-2）ax=3ax2-8ax+4a=3a(x-2)(x-)，

因为a＞0，

则由f'（x）＞0，则x＞2或x＜，此时函数单调递增，

由f'（x）＜0，则＜x＜2，此时函数单调递减．

即函数的单调增区间为（2，+∞）和（-∞，）．

函数的单调递减区间为（，2）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x=时，函数取得极大值，

所以由f（）=8得，f()=a(

2

3

-2)2==8，

解得a=．

（1）∵函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切，

∴方程x+b=x2+bx+c只有一个根，即x2+（b-1）x+c-b=0，

∴△=（b-1）2-4×（c-b），

∴（b+1）2=4c，b＞-1，c＞0，

∴b+1＞0，∴b=2-1，

∴b=φ（c）=2-1；

（2）依题意设D（x）==x+，

∴D′（x）=1-=（1+）（1-）

∵D（x）在[-1，+∞）上是增函数，

∴（1+）（1-）≥0在[-1，+∞）上恒成立，

又x＞-b，c＞0，

∴上式等价于1-≥0在[-1，+∞）上恒成立，

即≤x+b，而由（Ⅰ）可知≤x+2-1，

∴≥1-x，

又函数1-x在[-1，+∞）上的最大值为2，

∴≥2，解得c≥4，即c的最小值为4．

（3）由H（x）=（x+b）（x2+bx+c）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc

可得H′（x）=3x2+4bx+（b2+c）

令3x2+4bx+（b2+c）=0，依题意设欲使函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点，

则需满足△=4（b2-3c）=4（c-4+1）＞0，

亦即c-4+1＞0，解得＜2-或＞2+，

又c＞0，∴0＜c＜7-4或c＞7+4，

故存在常数c∈（0，7-4）∪（7+4，+∞），使得函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点．

(1) a＝1，b＝0. (2)

(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.

因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a.

又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，f′(x)＝(n＋1)xn－1.

令f′(x)＝0，解得x＝，在上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；

而在上，f′(x)＜0，故f(x)单调递减．

故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f＝n·＝.

（I）①当时，的单调递增区间为，的单调递增区间为；②当时， 的单调递增区间为和，的单调递增区间为；③当时，的单调递增区间为，无单调减区间；④当时，的单调递增区间为和，的单调递增区间为；（II）．

试题分析：（I）先求函数的定义域及导数，，由此可知需要分四种情况讨论，求的单调区间；（II）根据已知条件：存在使得对任意的恒成立，则，再利用及的单调性求，最后解不等式得的取值范围．

试题解析：（I）        2分

①当时，由得，此时的单调递增区间为．由得，此时的单调递增区间为．

②当时，由得，此时的单调递增区间为和．由得，此时的单调递增区间为．

③当时，，此时的单调递增区间为，无单调减区间．

④当时，由得，此时的单调递增区间为和．由得，此时的单调递增区间为．                     6分

（II）由题意知．由（I）知在上为增函数，．  8分

在上为减函数，，              10分

．                                    12分

（1）∵f（x）=-x3+ax，

∴f′（x）=-3x2+a，

∵f（x）=-x3+ax在（0，1）上是增函数，

∴f′（1）=-3+a≥0，

∴a≥3，即A=[3，+∞）．

（2）当a=3时，由题意：an+1=f（an）=-an3+an，且a1=b∈（0，1），

以下用数学归纳法证明：an∈（0，1），对n∈N*恒成立．

①当n=1时，a1=b∈（0，1）成立；

②假设n=k时，ak∈（0，1）成立，那么当n=k+1时，

ak+1=-ak3+ak，由①知g（x）=（-x3+3x）在（0，1）上单调递增，

∴g（0）＜g（ak）＜g（1）

即0＜ak+1＜1，

　由①②知对一切n∈N*都有an∈（0，1）

　而an+1-an=-an3+an-an=an（1-an2）＞0

∴an+1＞an．

解：（Ⅰ）当 a=1时， 

由 由 

故 的单调减区间为 单调增区间为 

（Ⅱ）因为 在 上恒成立不可能，故要使函数 在 上无零点，

只要对任意的 恒成立，即对 恒成立．

令  则  

再令   

在 上为减函数，

于是 

从而， ，

于是 在 上为增函数  故要使 恒成立，

只要 

综上，若函数 在 上无零点，则 的最小值为