热门试卷

（1）由g'（x）=3x2-6tx＞0和g′（x）=3x2-6tx＜0（t＞0）

知g（x）在（-∞，0）和（2t，+∞）上是增函数，

g（x）在（0，2t）上是减函数

即g（x）单调递增区间为（-∞，0）和（2t，+∞），

g（x）单调递减区间为（0，2t）．（6分）

（2）由曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直知，

g′（a）=g′（b）=0，又a＜b，所以a=0，b=2t，

若方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，即曲线g（x）在区间[0，2t]上与x轴相交，

又g（x）在[0，2t]上单调，所以g（0）g（2t）≤0，

即t2（3t-1）（4t2+3t-1）≤0，

得t∈[，]．（12分）

（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2=3(x-)(x+a)

当a=0时f′（x）≥0

∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）

当a＞0时

由f′（x）＞0得x＜-a或x＞，

由f′（x）＜0得-a＜x＜，

∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），(，+∞)，

单调递减区间为(-a，)

（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，

则f（x）在[-1，1]上没有极值点；

当a＞0时∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-)(x+a)

由（1）知f（x）在(-∞，-a)，(，+∞)上单调递增，

在(-a，)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，

则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴，解得a≥3

综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}

（Ⅲ）∵a∈[3，6），

∴∈[1，2)，-a≤-3

又x∈[-2，2]

由（1）的单调性质知f（x）max=max{f（-2），f（2）}

而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0

∴f（x）max=f（-2）=-8+4a+2a2+m

∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立

∴f（x）max≤1即-8+4a+2a2+m≤1

即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，

∵9-4a-2a2的最小值为-87

∴m≤-87

故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，

函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），

当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-a)，(，+∞)，

单调递减区间为(-a，)，

（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，

（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．

（I）∵f（x）=sinx-xcosx，x＞0，

∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，

当f′（x）＞0时，sinx＞0，

∴2kπ＜x＜2kπ+π，k∈N，

∴函数f（x）的增区间为（2kπ，2kπ+π），k∈N．

当f′（x）＜0时，sinx＜0，

∴2kπ+π＜x＜2kπ+2π，k∈N，

∴函数f（x）的减区间为（2kπ+π，2kπ+2π），k∈N．

（II）当x=π，3π，…，2kπ+π，…时，函数f（x）取极大值，

当x=2π，4π，…，2kπ+2π，…时，函数f（x）取极小值，

∴当x∈[0，2013π]时，所有极值的和为：

f（π）+f（2π）+f（3π）+f（4π）+…+f（2013π）

=π-2π+3π-4π+…-2012π+2013π

=1007π．

（1）∵f'（x）=-3x2+2ax+4，

由题意，则f'（-2）=0，

即-12-4a+4=0，解得a=-2，

∴f（x）=-x3-2x2+4x-3．-----------------（2分）

由f'（x）=-3x2-2x+4＜0，得3x2+2x-4＞0，

解得x＞，或x＜-2，

∴函数f（x）的单调减区间为(-∞，-2)，(，+∞)．---------------（6分）

（2）∵P（1，-2）在曲线上，

∴k=y′|x=1=（-3x2-4x+4）|x=1=-3--（10分）

∴切线方程为：y+2=-3（x-1），

即：y=-3x+1----------------（12分）

（I）∵函数f(x)=x-+1-alnx，a＞0

∴f′（x）=1+-，x＞0

令t=＞0

y=2t2-at+1（t≠0）

①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数

②△=a2-8＞0，即：a＞2，y=0有两个不等根

由2t2-at+1＞0，得t＜或t＞，又x＞0

∴0＜x＜或x＜0或x＞

由2t2-at+1＜0，得＜t＜

∴＜x＜

综上：①0＜a≤2，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数

②a＞2函数f（x）(0，)，(，+∞)上是增函数，在(，)上是减函数，

（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，

故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e2]上是增函数

又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e2）=e2--5＞0

∴f（x）在区间[1，e2]上值域是[2-3ln2，e2--5]

（I）证明：由题设易得g（x）=e2x-t（ex-1）+x，g'（x）=2e2x-tex+1．又由2ex+e-x≥2，且t＜2得t＜2ex+e-x，

tex＜2e2x+1，即g'（x）=2e2x-tex+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．

（II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e2x-tex+1＜0，即t＞2ex+e-x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2ex+e-x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．

（III）设F（t）=2t2-2（ex+x）t+e2x+x2+1，即F(t)=2(t-)2+(ex-x)2+1，

易得F(t)≥(ex-x)2+1．令H（x）=ex-x，则H'（x）=ex-1，易知H'（0）=0．当x＞0时，H'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以(ex-x)2+1≥，

于是对任意的x，t，都有F(t)≥，即f(x)≥．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

若m=3，则f（x）=lnx+x2-3x

∴f′（x）=

令f′（x）＞0，

∵x＞0，

∴0＜x＜或x＞1；

令f′（x）＜0，

∵x＞0，

∴＜x＜1

即函数f（x）在（0，）（1，+∞）上递减，在（，1）上递增，

∴x=1时，函数有极小值为f（1）=-2；

（2）求导函数可得：f′（x）=

∵函数f（x）在定义域内为增函数，

∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立

∴2x2-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立

∴m≤2x+在（0，+∞）上恒成立

∵x＞0时，2x+≥2（当且仅当x=时取等号）

∴m≤2

∴实数m的取值范围为（-∞，2]；

（3）证明：由（2）知，当m=1时，函数在（0，+∞）上单调递增

∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且x1＜x2＜x3，

∴y1＜y2＜y3，

∴=（x1-x2，y1-y2），=（x3-x2，y3-y2），

∴x1＜x2＜x3，y1＜y2＜y3，

∴•＜0

∴cos＜，＞=＜0

∴∠ABC为钝角

∴△ABC为钝角三角形

（I）∵f（x）=sinx-xcosx，x＞0，

∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，

当f′（x）＞0时，sinx＞0，

∴2kπ＜x＜2kπ+π，k∈N，

∴函数f（x）的增区间为（2kπ，2kπ+π），k∈N．

当f′（x）＜0时，sinx＜0，

∴2kπ+π＜x＜2kπ+2π，k∈N，

∴函数f（x）的减区间为（2kπ+π，2kπ+2π），k∈N．

（II）当x=π，3π，…，2kπ+π，…时，函数f（x）取极大值，

当x=2π，4π，…，2kπ+2π，…时，函数f（x）取极小值，

∴当x∈[0，2013π]时，所有极值的和为：

f（π）+f（2π）+f（3π）+f（4π）+…+f（2013π）

=π-2π+3π-4π+…-2012π+2013π

=1007π．