热门试卷

（Ⅰ）因为f'（x）=3x2-3t，

当t=1时，f（x）有递减区间（-1，1），递增区间 （-∞，-1），（1，+∞）．…（6分）

（Ⅱ）当t≤0时，f（x）在[0，1]上为增函数，所以f（x）≥f（0）=0，

所以F（t）=f（1）=1-3t，…（8分）

当t＞0时，

1）≥1，即t≥1，g（x）=-f（x），f（x）在[0，1]上为减函数，

F（t）=-f（1）=3t-1，…（10分）

2）＜1≤2，即≤t＜1，F（t）=-f（）=2t…（12分）

3）2＜1，即0＜t＜，F（t）=f（1）=1-3t．…（14分）

综上，F(t)=．…（15分）

（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，

∴f'（x）=3ax2+2bx+c，

∵f（x）在x=0有极值，

∴f'（0）=0

∴c=0

（2）b=3a，且-2是f（x）的一个零点，得f（-2）=-8a+12a+d=0，即d=-4a

∴f（x）=ax3+3ax2-4a，

f′（x）=3ax2+6ax=3ax（x+2）

由f'（x）=0得x=0或x=-2

当a＞0时

所以当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a

所以 ，即 0＜a≤，故 a的取值范围是 (0，]．

（3）f'（x）=3ax2+2bx，

由f'（x）=x（3ax+2b）=0，得x=0或 x=-

∵f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上单调且单调性相反

∴-4≤-≤-2，

故 3≤≤6．

（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，

∴f'（x）=3ax2+2bx+c，

∵f（x）在x=0有极值，

∴f'（0）=0

∴c=0

（2）b=3a，且-2是f（x）的一个零点，得f（-2）=-8a+12a+d=0，即d=-4a

∴f（x）=ax3+3ax2-4a，

f′（x）=3ax2+6ax=3ax（x+2）

由f'（x）=0得x=0或x=-2

当a＞0时

所以当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a

所以 ，即 0＜a≤，故 a的取值范围是 (0，]．

（3）f'（x）=3ax2+2bx，

由f'（x）=x（3ax+2b）=0，得x=0或 x=-

∵f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上单调且单调性相反

∴-4≤-≤-2，

故 3≤≤6．

（Ⅰ）因为f'（x）=3x2-3t，

当t=1时，f（x）有递减区间（-1，1），递增区间 （-∞，-1），（1，+∞）．…（6分）

（Ⅱ）当t≤0时，f（x）在[0，1]上为增函数，所以f（x）≥f（0）=0，

所以F（t）=f（1）=1-3t，…（8分）

当t＞0时，

1）≥1，即t≥1，g（x）=-f（x），f（x）在[0，1]上为减函数，

F（t）=-f（1）=3t-1，…（10分）

2）＜1≤2，即≤t＜1，F（t）=-f（）=2t…（12分）

3）2＜1，即0＜t＜，F（t）=f（1）=1-3t．…（14分）

综上，F(t)=．…（15分）

（Ⅰ）由题x＞0，f′(x)=-＜0，…（2分）

故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）

（Ⅱ）当x＞0时，f(x)＞恒成立，即k＜[1+ln(x+1)]在（0，+∞）上恒成立，

取h(x)=[1+ln(x+1)]，则h′(x)=，…（5分）

再取g（x）=x-1-ln（x+1），则g′(x)=1-=＞0，

故g（x）在（0，+∞）上单调递增，

而g（1）=-ln2＜0，g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，…（7分）

故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a-1-ln（a+1）=0，

故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，

故h(x)min=[1+ln(a+1)]=a+1∈(3，4)，k≤3，故kmax=3…（8分）

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：＞(x＞0)，∴ln(x+1)＞-1=2-＞2-

令x=n(n+1)，ln[1+n(n+1)]＞2-=2-3(-)，…（10分）

又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[(1-)+(-)+…+(-)]=2n-3(1-)=2n-3+＞2n-3

即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e2n-3…（14分）

（1）当sinθ=-时，f（x）=-x2+3x-2lnx（x＞0）

∴f′(x)=-x+3-=

令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；令f′（x）＜0，x＞0，可得x＜1或x＞2

∴函数的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（0，1）或（2，+∞）

（2）∵f′(x)=-x+3+=

令y=-2x2+6x+9sinθ（x＞0），其对称轴为x=＞0

∵函数f（x）在（0，+∞）上不是单调函数

∴△=36+72sinθ＞0

∴sinθ＞-

∴θ∈(2kπ-，2kπ+)(k∈Z)

（Ⅰ）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=2x-2+==（x＞0），

当a＞时，f′（x）＞0，

所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（Ⅱ）f′（x）=2x-2+=，由已知得到2x2-2x+a=0有两个大于0的不等实根，

所以解得0＜a＜

由f(x)=，可得f′(x)=．…．（2分）

（Ⅰ）因为函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=x+b，得：…．（4分）

解得 …．（5分）

（Ⅱ）令f'（x）＞0，得x2+2x-a＞0…①…．（6分）

当△=4+4a≤0，即a≤-1时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（-1，+∞）．…．（8分）

当△=4+4a＞0，即a＞-1时，不等式①的解为x＞-1+或x＜-1-，

…．（10分）

又因为x≠-1，所以此时函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-1-)和(-1+，+∞)，单调递减区间为(-1-，-1)和(-1，-1+)．

．…．（12分）

所以，当a≤-1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（-1，+∞）；

当a＞-1时，函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-1-)和(-1+，+∞)，

单调递减区间为(-1-，-1)和(-1，-1+)..…．（13分）