- 带电粒子在电场中的运动
- 共5409题
如图所示，MN、PQ是平行金属板，板长为L，两板间距离为d，在PQ板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0从MN板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘飞进磁场，然后又恰好从PQ板的右边缘飞进电场。不计粒子重力。试求：
（1）两金属板间所加电压U的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）在图中正确画出粒子再次进入电场中的运动轨迹，并标出粒子再次从电场中飞出的速度方向。
正确答案
解：（1）设带电粒子在平行金属板匀强电场中运动的时间为t，由类平抛运动可知：
联立求解①～④式解得：
或由动能定理和运动的合成、分解的方法，联立求解得出正确的结果同样给分。设带电粒子第一次飞出电场时的速度为v，由动能定理
（2）带电粒子以速度v飞出电场后射入匀强磁场做匀速圆周运动，由
联立求解①③④⑤⑥⑦⑧⑨可得
或由下列常规方法求解：
联立以上有关方程求解可得：
（3）
如图所示，真空室内存在宽度为=8cm的匀强磁场区域，磁感应强度=0.332T，磁场方向垂直于纸面向里；、足够长，为厚度不计的金箔，金箔右侧有一匀强电场区域，电场强度=3.32×105N/C；方向与金箔成37°角。紧挨边界放一点状α粒子放射源，可沿纸面向各个方向均匀放射初速率相同的粒子，已知：α粒子的质量=6.64×10－27 kg，电荷量 = 3.2×10－19 C，初速度= 3.2×106m/s。（sin37°= 0.6，cos37°= 0.8）求：
（1）α粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径；
（2）金箔被α粒子射中区域的长度；
（3）设打在金箔上端离中心最远的α粒子穿出金箔进入电场（速度方向与离开磁场的方向一致），在电场中运动通过点，⊥且 = 40cm，则此α粒子从金箔上穿出时，损失的动能△为多少？
正确答案
解：（1）α粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：
则
（2）设中心为，则：
向端偏转的α粒子，当圆周轨迹与相切时偏离最远，设切点为，对应圆心1，如图所示，则由几何关系得：
向端偏转的α粒子，当沿方向射入时，偏离最远，设此时圆周轨迹与交于点，对应圆心2，如图所示，则由几何关系得：
故金箔被α粒子射中区域的长度
（3）设从点穿出的α粒子的速度为'，因半径2与场强的方向间的夹角θ，有：tanθ=
沿速度v'方向做匀速直线运动， 位移
沿场强方向做匀加速直线运动，位移
则由
得：
故此α粒子从金箔上穿出时，损失的动能为
如图所示，一束电子的电荷量为e，以速度v垂直射入磁感应强度为B，宽度为a的有界磁场中，穿出磁场时的速度方向与入射方向的夹角是30°。
(1)则电子穿过磁场的时间为多少？
(2)如果原磁场空间改为匀强电场，要满足电子飞入电场和飞出电场的位置不变，则电场的方向如何？场强多大？
正确答案
解：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示
由几何关系可得r=a/sin30°=2a ①
且
由①②③式可得：
(2)当电场方向与v垂直向上时，电子做类平抛运动，且
由以上各式可得
如图所示，MN、PQ是平行金属板，板长为L，两板间距离为d，PQ带正电，MN板带负电，在PQ板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0从MN板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘飞进磁场，然后又恰好从PQ板的右边缘飞进电场。不计粒子重力。试求：
（1）两金属板间所加电压U的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）在图中正确画出粒子再次进入电场中的运动轨迹，并标出粒子再次从电场中飞出的速度方向。
正确答案
解：（1）设带电粒子在平行金属板匀强电场中运动的时间为t，由类平抛运动可知：
联立求解①～④式解得：
或由动能定理和运动的合成、分解的方法，联立求解得出正确的结果同样给分。设带电粒子第一次飞出电场时的速度为v，由动能定理
（2）带电粒子以速度v飞出电场后射入匀强磁场做匀速圆周运动，由
联立求解①③④⑤⑥⑦⑧⑨可得
或由下列常规方法求解：
联立以上有关方程求解可得：
（3）
如图所示，一个质量为m =2.0×10-11 kg，电荷量q=+1.0×10-5 C的带电微粒（重力忽略不计），从静止开始经U1=100V电压加速后，水平进入两平行金属板间沿竖直方向的偏转电场中，偏转电场的电压U2=100V。金属板长L=20cm，两板间距d =
（1）微粒进入偏转电场时的速度v0大小；
（2）微粒射出偏转电场时的偏转角θ；
（3）若该匀强磁场的宽度为D=
正确答案
解：（1）微粒在加速电场中由动能定理得：qU1=
解得：v0=1.0×104m/s
（2）微粒在偏转电场中做类平抛运动，有：
飞出电场时，速度偏转角的正切为：tanθ=
解得θ=30°
（3）进入磁场时微粒的速度是：v=v0/cosθ ③
轨迹如图，由几何关系有：
洛伦兹力提供向心力：Bqv=mv2/r ⑤
由③～⑤联立得：B=mv0(1+sinθ)/qDcosθ
代入数据解得：B =0.4T
所以，为使微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少为0.4T
如图，在xoy平面内，MN和x轴之间有平行于y轴的匀强电场和垂直于xoy平面的匀强磁场，y轴上离坐标原点4 L的A点处有一电子枪，可以沿+x方向射出速度为v0的电子（质量为m，电量为e）。如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动。如果撤去电场，只保留磁场，电子将从x轴上距坐标原点3L的C点离开磁场。不计重力的影响，求：
（1）磁感应强度B和电场强度E的大小和方向；
（2）如果撤去磁场，只保留电场，电子将从D点（图中未标出） 离开电场，求D点的坐标；
（3）电子通过D点时的动能。
正确答案
解：（1）只有磁场时，电子运动轨迹如图所示：
洛仑兹力提供向心力
由几何关系
求出
电子做匀速直线运动
求出
（2）只有电场时，电子从MN上的D点离开电场，如图所示：
设D点横坐标为
求出D点的横坐标为
纵坐标为
（3）从A点到D点，由动能定理
求出
如图甲所示，在光滑绝缘的水平面上固定着两对几何形状完全相同的平行金属板PQ和MN，P、Q与M、N四块金属板相互平行地竖直放置，其俯视图如图乙所示。已知P、Q之间以及M、N之间的距离都是d=0.2m，极板本身的厚度不计，极板长均为L=0.2m，板间电压都是
（1）试求小球刚穿出平行金属板PQ进入磁场瞬间的速度；
（2）若要小球穿出平行金属板PQ后，经磁场偏转射入平行金属板MN中，且在不与极板相碰的前提下，最终在极板MN的左侧中点O′ 沿中轴线射出。则金属板Q、M间距离最大是多少？
正确答案
解：（1）小球在PQ金属板中做类平抛运动：
小球所受电场力
故
小球在板间运动的时间
小球在垂直板方向上的速度
则小球离开PQ板时的速度为
（2）在PQ极板间，若P板电势比Q板高，则小球向P板偏离，进入右侧磁场后做圆周运动，由运动的对称性，则必须N板电势高于M板电势，其运动轨迹如图a所示；同理若Q板电势比P板高，则必须M板电势高于N板电势，其运动轨迹如图b所示。否则不可能在不与极板相碰的前提下，最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出。
小球进入磁场后做圆周运动，设运动半径为R，因洛仑兹力提供向心力，即：
所以
在PQ极板间，若小球向P板偏，设小球射入与射出磁场的两点间的距离为ha；在PQ极板间，若小球向Q板偏，设小球射入与射出磁场的两点间的距离为hb。由图中几何关系（注：图中半径不同，为简便，两图合一）可算得：
小球偏离中轴线的位移
当小球向P板偏时，根据对称性可得QM板间的距离为
当小球向Q板偏时，根据对称性可得QM板间的距离为
显然
代入数据得
因而金属板Q、M间距离最大为0.75m
如图所示，两块相同的金属板正对着水平放置，金属板长为L，两板间距离为d。上极板的电势比下极板高U。质量为m、带电量为q的正离子束，沿两板间中心轴线以初速度υ0进入两板间，最终都能从两板间射出。不计离子重力及离子间相互作用的影响。
（1）求离子在穿过两板的过程中沿垂直金属板方向上移动的距离y；
（2）若在两板间加垂直纸面的匀强磁场，发现离子束恰好沿直线穿过两板，求磁场磁感应强度B的大小和方向；
（3）若增大两板间匀强磁场的强度，发现离子束在穿过两板的过程中沿垂直金属板方向上移动的距离也为y，求离子穿出两板时速度的大小υ。
正确答案
解：（1）离子在穿过两板的过程中，只受与初速度v0垂直的电场力F作用，且F=qE
两板间电场强度
离子的加速度
离子沿中心轴线方向做匀速直线运动，设离子穿过两板经历的时间为t，则L=v0t
离子沿垂直金属板方向上做初速度为0的匀变速直线运动，则y=
解得
（2）离子束恰好沿直线穿过两板，说明离子受力平衡，即qE=qv0B
所以磁感应强度的大小B=
（3）增大磁场的强度时，离子受洛伦兹力增大，所以离子会向上偏。在离子穿过极板的过程中，电场力做负功，根据动能定理得
解得离子穿出两板时的速度v=
电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组成。偏转电场由加了电压的相距为d的两块水平平行放置的导体板形成，如图甲所示。大量电子（其重力不计）由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入偏转电场。当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为2t0，当在两板间加如图乙所示的周期为2t0、幅值恒为U0的电压时，所有电子均能从两板间通过，然后进入水平宽度为l，竖直宽度足够大的匀强磁场中，最后通过匀强磁场打在竖直放置的荧光屏上（已知电子的质量为m、电荷量为e）。问：
（1）判断哪些时刻电子进入两平行板间侧向位移最大？写出最大值表达式；
（2）电子从两平行板间射出时最大侧向位移与最小侧向位移之差是多少？
（3）要使侧向位移最大的电子能垂直打在荧光屏上，匀强磁场的磁感应强度为多少？
正确答案
解：（1）由题意可判断，从0、2t0、4t0……等时刻进入偏转电场的电子侧向位移最大，在这种情况下，电子的侧向位移为
（2）而从t0、3t0……等时刻进入偏转电场的电子侧向位移最小，在这种情况下，电子的侧向位移为
所以最大侧向位移与最小侧向位移之差为
（3）设电子从偏转电场中射出时的偏向角为
设电子从偏转电场中出来时的速度为vt，垂直偏转极板的速度为vy，则电子从偏转电场中出来时的偏向角为：
式中
又
由上述四式可得：
如图所示，水平放置的两块带金属极板a、b平行正对，极板长度为l，板间距为d，板间存在着方向坚直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，假设电场、磁场只存在于两板间。一质量为m、电荷量为q的粒子，以水平速度v0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计重力及空气阻力。
（1）求匀强磁场感应强度B的大小；
（2）若撤去磁场，粒子能从极板间射出，求粒子穿过电场时沿电场方向移动的距离；
（3）若撤去磁场，并使电场强度变为原来的2倍，粒子将打在下极板上，求粒子到达下极板时动能的大小。
正确答案
解：（1）带电粒子匀速通过场区时受到的电场力与洛伦兹力平衡，
解得磁感应强度
（2）电子通过电场区偏转的距离
（3）设粒子运动到下极板时的动能大小为Ek，根据动能定理
解得
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