与圆有关的比例线段_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．如图5,圆O的直径，P是AB延长线上一点，BP=2 ,

割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC

于点E，交直线AD于点F.

(Ⅰ) 当时，求的度数；

(Ⅱ) 求的值.

正确答案

（1）；（2）24；

解析

：(Ⅰ) 连结BC，∵AB是圆O的直径 ∴则，-----1分

又，--------------2分

，--------------------------------------3分

∵；-------------4分

(Ⅱ)：由（Ⅰ）知，

∴D、C、E、F四点共圆，---------------------------------6分

∴,-----------------------------------------------------------7分

∵PC、PA都是圆O的割线，∴，------------------------------9分

∴=24. ----------------------------------------------------------------10分

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

第（1）问中找不到与之间的关系；第（2）问无法发现D、C、E、F四点共圆导致不能使用割线定理。

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

知识点

圆的切线的性质定理的证明弦切角与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．如图（8），圆O1与圆O2相交于A、B两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆O1、圆O2交于C，D两点．

（Ⅰ）求证：PA·PD＝PE·PC；

（Ⅱ）求证：AD＝AE．

正确答案

（1）见解析；（2）见解析

解析

试题分析：本题属于几何证明选讲中的证明问题，

（1）由切割线定理直接证明；（2）直接按照步骤来求。

(1) 分别是⊙O2的割线，

①

又分别是⊙O1的切线与割线，

②

由①，②得

(2)连接AC,DE, ⊙O1的直径，

由（1）知，

AB是⊙O2的直径，

考查方向

本题考查了几何证明选讲中的证明问题。

解题思路

本题考查几何证明选讲中的证明问题，解题步骤如下：

（1）由切割线定理直接证明；

（2）直接按照步骤来求。

易错点

图形看不懂，比较复杂。

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知点在直径的延长线上，切于点，是的平分线且交于点，交于点．

28.求的度数；

29.若，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）∵为的切线，∴，又是的平分线，∴．由，得，

又，∴．

考查方向

本题主要考查圆的切线的性质和三角形相似等知识，意在考查考生的分析转化能力与推理论证能力。

解题思路

先根据弦切角定理得，然后利用角平分线得到进而得即可证明；

易错点

没有发现，导致无法证明；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）∵，∴∴，又，∴．在中，∴．

考查方向

本题主要考查圆的切线的性质和三角形相似等知识，意在考查考生的分析转化能力与推理论证能力。

解题思路

先证明，然后即可根据对应边成比例证明。

易错点

看不出，导致没有思路；

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

22.如图，为四边形外接圆的切线，的延长线交于点，与相交于点，.

（1）求证：；

（2）若，求的长.

正确答案

（1）见解析；（2）。

解析

试题分析：本题属于几何证明选讲的基本问题，

（1）直接按照步骤来求；

（2）由切割线定理和三角形相似即可求出。

（1）为切线，

（2）已知，由切割线定理

得：，得

又知，所以

所以，所以

考查方向

本题考查了几何证明选讲。

解题思路

本题考查几何证明选讲，解题步骤如下：

（1）直接按照步骤来求；

（2）由切割线定理和三角形相似即可求出。

易错点

切割线定理不会用。

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4—1：几何证明选讲

如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结BF并延长交CD于点E．

27.求证：E为CD的中点；

28.求EF·FB的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（Ⅰ）由题可知是以为圆心，为半径作圆，而为正方形，

∴为圆的切线.

依据切割线定理得.

∵圆以为直径，∴是圆的切线，

同样依据切割线定理得.

故.

∴为的中点.

考查方向

本题考察了圆的切割定理，和直角三角形中的射影定理

解题思路

本题解题思路

1）借助圆的切割定理得出，进而证明第一问

2）借助等面积求解FC,使用射影定理得到第二问

易错点

本题易错cd是两圆的切线，

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（Ⅱ）连结，∵为圆的直径，

∴

由

得

又在中，由射影定理得

考查方向

本题考察了圆的切割定理，和直角三角形中的射影定理

解题思路

本题解题思路

1）借助圆的切割定理得出，进而证明第一问

2）借助等面积求解FC,使用射影定理得到第二问

易错点

本题易错cd是两圆的切线，

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

false

正确答案

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲．

如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．

28.求证：；

29.若，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略

解析

∵,∴∽,∴

又∵,∴, ∴,

∴∽， ∴， ∴

又∵，∴

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先证明,再证，可证得

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

PA=

解析

∵, ∴ ，∵ ∴由28题可知：，解得.

∴． ∵是⊙的切线，∴

∴，解得．得

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先综合题中条件及28题中结论，解出EP=,BP=,再由切割线定理，解得PA=

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．如图所示，为圆的切线，为切点，交圆于，两点，，，的角平分线与和圆分别交于点和．

（1）求证：；

（2）求的值．

正确答案

（1）见解析；（2）

解析

试题分析：本题属于几何证明选讲问题，（1）利用三角形相似来证明；（2）利用切割线定理然后利用三角形相似来解答。

试题解析：（Ⅰ）∵ 为圆的切线, 又为公共角,

∴ ，∴

（2）∵为圆的切线,是过点的割线, 又∵

又由（Ⅰ）知,

连接,则，

∴

考查方向

本题考查了几何证明选讲问题。

解题思路

本题考几何证明选讲问题，解题步骤如下：（1）利用三角形相似来证明；（2）利用切割线定理然后利用三角形相似来解答。

易错点

不会转化。

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结交于点，已知圆的半径为，.

27.求的长；

28.求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）3；

解析

（Ⅰ）延长交圆于点，连结，则，

又，所以，

又，可知，所以.

根据切割线定理得，即.

考查方向

本题主要考查平面几何的知识，圆的切割线定理。

解题思路

1）第一问由切割线定理可得；

2）第二问将两条线段归到两个相似三角形中，用相似得到比例关系。

易错点

三角形相似容易找错，切割线定理用不熟练。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）过作于，则，从而有，

又由题意知，所以，

因此.

考查方向

本题主要考查平面几何的知识，圆的切割线定理。

解题思路

1）第一问由切割线定理可得；

2）第二问将两条线段归到两个相似三角形中，用相似得到比例关系。

易错点

三角形相似容易找错，切割线定理用不熟练。

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。

22.如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E。

（1）若D为AC中点，证明：DE是圆O切线；

（2）若，求的大小。

23. 在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求的极坐标方程。

（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积。

24. 已知函数。

（1）当时求不等式的解集；

（2）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。

正确答案

22.

（1）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.

在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.

连结OE，则∠OBE=∠OEB

又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是圆O的切线。

（2）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，，

所以，即.可得，所以∠ACB=。

23.（1）因为，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为.

（2）将代入，得，解得

.故，即

由于的半径为1，所以的面积为。

24.（1）当时，化为.

当时，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得；

当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.

所以的解集为.

（2）由题设可得，

所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为

,△ABC的面积为.
由题设得＞6，故＞2.

所以的取值范围为.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

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