- 二项式定理
- 共3480题
某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖．现有甲、乙、丙3人参加当天的闯关比赛，已知甲获奖的概率为
（1）求三人中恰有一人获奖的概率；
（2）记三人中获奖的人数为ξ，求ξ的数学期望．
正确答案
解：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，丙获奖为事件C，丙获奖的概率为p，
则P（C）P（
（1）三人中恰有一人获奖的概率为：
P=P（A）P（
=
（2）P（ξ=0）=
P（ξ=1）=P（A）P（
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=
∴Eξ=0×
解析
解：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，丙获奖为事件C，丙获奖的概率为p，
则P（C）P（
（1）三人中恰有一人获奖的概率为：
P=P（A）P（
=
（2）P（ξ=0）=
P（ξ=1）=P（A）P（
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=
∴Eξ=0×
益阳市箴言中学学校团委为三个年级提供了“甲、乙、丙、丁”学雷锋的四个不同活动内容，每个年级任选其中一个．求：
（1）三个年级选择3个不同活动内容的概率；
（2）恰有2个活动内容被选择的概率；
（3）选择甲活动内容的年级个数ξ的分布列．
正确答案
解：（1）每个年级任选其中一个，都有4种选择方法，三个年级共有43种选择方法，其中三个年级选择3个不同活动内容，共有
（2）恰有2个活动内容被选择，共有
（3）ξ的取值为0，1，2，3，则
P（ξ=0）=
ξ的分布列为
解析
解：（1）每个年级任选其中一个，都有4种选择方法，三个年级共有43种选择方法，其中三个年级选择3个不同活动内容，共有
（2）恰有2个活动内容被选择，共有
（3）ξ的取值为0，1，2，3，则
P（ξ=0）=
ξ的分布列为
今年夏季酷暑难熬，某品牌饮料抓住这一时机举行夏季促销活动，若瓶盖中印有“中奖2元”字样，则可以兑换2元现金，如果这种饮料每瓶成本为2元，投入市场按每瓶3元销售，“中奖2元”综合中奖率为10%．
（1）求甲够买饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率；
（2）若该厂生产这种饮料20万瓶，假设全部售出，则盈利的期望值是多少？
正确答案
解：（Ⅰ）设甲购买该饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率为P，则
P=
（Ⅱ）设售出一瓶这种饮料盈利为ξ，则ξ的可能取值是-1，1，
且P（ξ=-1）=0.1，P（ξ=1）=0.9，
故ξ的分布列为：
Eξ=-1×0.1+1×0.9=0.8．
故20万瓶的盈利期望值为：20Eξ=20×0.8=16（万元） …（13分）
解析
解：（Ⅰ）设甲购买该饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率为P，则
P=
（Ⅱ）设售出一瓶这种饮料盈利为ξ，则ξ的可能取值是-1，1，
且P（ξ=-1）=0.1，P（ξ=1）=0.9，
故ξ的分布列为：
Eξ=-1×0.1+1×0.9=0.8．
故20万瓶的盈利期望值为：20Eξ=20×0.8=16（万元） …（13分）
从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（Ⅱ）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列与期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，设事件B：“该批产品中任取1件是二等品”
∴P（B）=1-p2=0.96
求得p=0.2．
（Ⅱ）∵该批产品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有20×0.2=4件，
显然X=0，1，2．故
所以X的分布列为
∴EX==
解析
解：（Ⅰ）∵事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，设事件B：“该批产品中任取1件是二等品”
∴P（B）=1-p2=0.96
求得p=0.2．
（Ⅱ）∵该批产品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有20×0.2=4件，
显然X=0，1，2．故
所以X的分布列为
∴EX==
某旅行社组织了一个有36名游客的旅游团到安徽风景名胜地旅游，其中
（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1名 省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人的概率；
（2）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中省内游客玩过黄山的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山．
设事件B为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”．事件A1为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件A2为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”．
则P（B）=P（A1）+P（A2）=
所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3
P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=2
解析
解：（1）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山．
设事件B为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”．事件A1为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件A2为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”．
则P（B）=P（A1）+P（A2）=
所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3
P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=2
退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；
（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为
∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
EX==．
解析
解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为
∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
EX==．
从1，2，3，4，5这五个数中有放回地取两个数字，则这两个数之积的数学期望为______．
正确答案
9
解析
解：从1，2，3，4，5这五个数中有放回地取两个数字，设这两个数之积为ξ则
ξ=1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，16，20，25
P（ξ=1）=
∴这两个数之积的数学期望为Eξ=
股答案为9
某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2-ηx-1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）函数f（x）=x2-ηx-1过（0，-1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有
所以，η=4或η=5
当η=4时，
当η=5时，
又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，
所以
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，
于是
从而ξ的分布列：
ξ的数学期望：．
解析
解：（1）函数f（x）=x2-ηx-1过（0，-1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有
所以，η=4或η=5
当η=4时，
当η=5时，
又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，
所以
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，
于是
从而ξ的分布列：
ξ的数学期望：．
有一个3×4×5的长方体，它的六个面上均涂上颜色．现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ．
（1）求ξ=0的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，
（2）ξ的取值可以是0，1，2，3
分布列
…（10分）
Eξ=0×+1×+2×+3×=…（12分）
解析
解：（1）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，
（2）ξ的取值可以是0，1，2，3
分布列
…（10分）
Eξ=0×+1×+2×+3×=…（12分）
某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．
正确答案
解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率
试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，
满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222
∴根据等可能事件的概率公式得到P=
（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列是：
∴Eξ=
解析
解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率
试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，
满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222
∴根据等可能事件的概率公式得到P=
（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列是：
∴Eξ=
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